Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/392: differenze tra le versioni

dai due sistemi <math>abcdo'</math>, <math>a'b'c'd'o</math> passano entrambe per <math>x</math>. Dunque <math>x</math> è il nono punto comune alle due cubiche.<ref>{{Sc|Hart}}, ''Construction by the ruler alone to determine the ninth point of intersection of two curves of the third degree'' (Cambridge and Dublin Mathematical Journal, vol. 6, Cambridge 1851, p. 181). </ref>

{{§|67c|(c)}} Se <math>abcd</math> sono quattro punti di una cubica, il loro punto ''opposto'' <math>o</math> può essere determinato così. Siano <math>m</math>, <math>n</math> i punti in cui la curva è incontrata dalle rette <math>ab</math>, <math>cd</math>; la retta <math>mn</math> segherà la curva medesima in <math>o</math>. Se i punti <math>abcd</math> coincidono in un solo <math>a</math>, anche <math>m</math>, <math>n</math> coincidono nel punto <math>m</math> in cui la cubica è segata dalla tangente in <math>a</math>; ed <math>o</math> diviene l'intersezione della curva colla tangente in <math>m</math>. Dunque, se ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Porismi di Chasles e teorema di Carnot#39b|39, b]]) <math>m</math> si chiama il ''tangenziale'' di <math>a</math> ed <math>o</math> il tangenziale di <math>m</math> ossia il ''secondo tangenziale'' di <math>a</math>, si avrà :

''La conica avente un contatto cinquipunto con una cubica incontra questa sulla retta congiungente il punto di contatto al suo secondo tangenziale''.<ref>{{Sc|Poncelet}}, ''Analyse des transversales'', p. 135. </ref>

{{§|67d|(d)}} Dai teoremi ([[#67b|b]]) e ([[#67c|c]]) si raccoglie che, se due cubiche hanno fra loro due contatti quadripunti ne' punti <math>a</math>, <math>a'</math>, il nono punto di intersezione <math>x</math> è in linea retta coi secondi tangenziali <math>o</math>, <math>o'</math> de' punti di contatto <math>a</math>, <math>a'</math>. Se <math>a</math>, <math>a'</math> coincidono, anche <math>o'</math> coincide con <math>o</math> ed <math>x</math> è il suo tangenziale, cioè il terzo tangenziale di <math>a</math>; dunque:

''Tutte le cubiche aventi un contatto ottipunto con una data cubica in un medesimo punto, passano pel terzo tangenziale del punto di contatto.''<ref>{{Sc|Salmon}}, ''On curves of the third order'' (Philosophical Transactions of the Royal Society, vol. 148, part 2, London 1859, p. 540).</ref>

{{§|67e|(e)}} Il teorema ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane#45b|45, b]]) applicato ad una curva del terz'ordine suona così:

Se una cubica è segata da una curva dell'ordine <math>n</math> in <math>3n</math> punti, i tangenziali di questi giacciono tutti in un'altra curva dell'ordine <math>n</math>.

Le coniche aventi un contatto cinquipunto con una data cubica ne' punti in cui questa è segata da una curva dell'ordine <math>n</math>, segano la cubica medesima in <math>3n</math> punti situati in un'altra curva dell'ordine <math>n</math>.

Se una conica ha un contatto cinquipunto con una cubica in <math>a</math> e la sega in <math>b</math>, e se <math>a'</math>, <math>b'</math> sono i tangenziali di <math>a</math>, <math>b</math>, un'altra conica avrà colla cubica un contatto cinquipunto in <math>a'</math> e la segherà in <math>b'</math>.

<references/>