Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/21: differenze tra le versioni

{{RigaIntestazione||{{Sc|intorno ad un teorema di abel.}}|7|riga=si}}

{{eq|θ_{{{smaller|r}}} <nowiki>=</nowiki> ''q''₀ + ''q''₁ α_{{{smaller|r}}} ''d'' + ''q''₂ α_{{{smaller|r}}}² ''d''² + ... + ''q''_{{{smaller|n}}—1} α_{{{smaller|r}}}^{{{smaller|n}}—1} ''d''^{{{smaller|n}}—1}.|3}}

Sia ''x'' una qualunque delle μ radici, supposte disuguali, dell’equazione F&nbsp;(''x'')&nbsp;=&nbsp;0, e sia θ_{{{smaller|r}}} il fattore di F (''x'') che è annullato da quella radice. Derivando rispetto a ''t'' la equazione identica F (''x'') = 0, si ha (lemma 2.º)

{{Centrato|F' (''x'') <math>\frac{dx}{dt}</math> + ''n'' <math>\begin{vmatrix} h_0 & q_1 d & q_2 d^2 & \cdots & q_{\mathrm{n}-1} d^{\mathrm{n}-1} \\ h_1 & q_2 d^2 & q_3 d^3 & \cdots & q_0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ h_{\mathrm{n}-1} & q_0 & q_1 d & \cdots & q_{\mathrm{n}-2} d^{\mathrm{n}-2} \end{vmatrix}</math> <nowiki>=</nowiki> 0}}

ove ''h''_{{{smaller|s}}} = <math>\frac{dq_s}{dt}</math> ''d''²; <math>\frac{dq_s}{dt}</math> indica la derivata di ''q''_{{{smaller|s}}}, rispetto alla sola ''t'' implicita ne’ coefficienti. Trasformisi il determinante nell’equazione che precede, moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per α_{{{smaller|r}}}, α_{{{smaller|r}}}², ... α_{{{smaller|r}}}^{{{smaller|n}}—1} ed aggiungendo agli elementi dell’ultima colonna moltiplicati per α_{{{smaller|r}}}^{{{smaller|n}}—1} quelli della penultima, terz’ultima, ... seconda moltiplicati per α_{{{smaller|r}}}^{{{smaller|n}}—2}, α_{{{smaller|r}}}^{{{smaller|n}}—3}, ... α_{{{smaller|r}}}; avendo riguardo all’equazione identica θ_{{{smaller|r}}} = 0, si ha

{{eq|F' (''x'') <math>\frac{dx}{dt}</math> — ''n''α_{{{smaller|r}}}H <nowiki>=</nowiki> 0|4}}

{{Centrato|H <nowiki>=</nowiki> (—1)^{{{smaller|n}}} <math>\begin{vmatrix} h_0 & q_0 & q_1 d & \cdots & q_{\mathrm{n}-2} d^{\mathrm{n}-2} \\ h_1 & q_1 d & q_2 d^2 & \cdots & q_{\mathrm{n}-1} d^{\mathrm{n}-1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ h_{\mathrm{n}-1} & q_{\mathrm{n}-1} d^{\mathrm{n}-1} & q_0 & \cdots & q_{\mathrm{n}-3} d^{\mathrm{n}-3} \end{vmatrix}</math>.}}

Sia ''a'' una quantità costante, ''f'' (''x'') una funzione razionale ed intera di ''x''; e si moltiplichi la [[#eq4|(4)]] per

{{Centrato|<math>\frac{f(x)}{\alpha_\mathrm{r} (x-a) d\mathrm{F}'(x)}</math>,}}

si avrà

{{Centrato|<math>\frac{1}{\alpha_\mathrm{r}} \frac{f(x)}{(x-a)d} \frac{dx}{dt} = \frac{n\mathrm{H}f(x)}{(x-a) d\mathrm{F}'(x)}</math>.}}

In questa equazione cambio la ''x'' successivamente in tutte le radici della F&nbsp;(''x'') = 0; sommando i risultati ed osservando essere <math>\frac{\mathrm{H}}{d}</math> una funzione razionale{{nota separata|Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/491|3}} rispetto ad ''x''