Principii di geometria/Prefazione
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PREFAZIONE
Quali fra gli enti geometrici si possono definire, e quali occorre assumere senza definizione?
E fra le proprietà, sperimentalmente vere, di questi enti, quali bisogna assumere senza dimostrazione, e quali si possono dedurre in conseguenza?
L’analisi di queste questioni, appartenenti ad un tempo alla Logica e alla Geometria, forma l’oggetto del presente scritto.
Onde non far lavoro vano in queste ricerche, già oggetto di molti studii, bisogna attenerci rigorosamente alle regole: Usare nelle nostre proposizioni solo termini di valore pienamente determinato; ben precisare cosa si intenda per definizione e per dimostrazione.
I termini di cui ci serviamo nelle nostre proposizioni appartengono in parte al linguaggio comune, o alla Logica, in parte alla Geometria. I termini appartenenti alla Logica sono nel linguaggio comune innumerevoli; ma in un mio precedente opuscolo1 già feci vedere come con un numero limitatissimo di convenzioni si possano esprimere tutte le relazioni logiche di cui abbiamo bisogno.
Per un più ampio studio delle proprietà delle operazioni e relazioni logiche qui introdotte rimando all’opuscolo menzionato. Qui mi limiterò ad un breve cenno sul significato dei segni, e a dare nelle note degli schiarimenti, in guisa che si possano senz’altro intendere le formule di questo scritto. Si ha così il mezzo di esprimere le proposizioni di Geometria sotto una forma rigorosa, che invano si desidererebbe dal linguaggio comune, e la soluzione delle questioni proposte riesce di molto agevolata.
Nel presente scritto mi son limitato a quelle proposizioni fondamentali di Geometria, in cui non comparisce il concetto di moto, ossia ai fondamenti della Geometria di posizione. Si vede in esso che, partendo dai concetti non definiti di punto e retta limitata, si possono definire la retta illimitata, il piano e le sue parti, come pure le parti dello spazio. Riesce pure possibile riconoscere, fra le proposizioni, quelle (assiomi) che esprimono le più semplici proprietà degli enti considerati, e quelle (teoremi) che si possono dedurre da altre più semplici.
Nel § 1 sono spiegati, in linguaggio comune, i segni degli enti non definiti.
Nel § 2 trovansi tutte le definizioni di cui qui si fa uso. Nel successivo sono contenute le proposizioni che dipendono solo dalle definizioni e dagli assiomi logici.
Nei §§ seguenti sono enunciati gli assiomi; ogni assioma è seguito dai teoremi che ne sono conseguenza. Così ad es. la prop. 6 del § 11 si dimostra senza ricorrere agli assiomi dei §§ seguenti; ma non si può, o meglio, io non so dedurla dai soli assiomi contenuti nei §§ precedenti.
Da quest’ordine nelle proposizioni risulta chiaro il valore degli assiomi, e si è moralmente certi della loro indipendenza. Si avrebbe ancora potuto segnare accanto ad ogni proposizione gli assiomi da cui dipende. Invece per scopo didattico converrebbe ordinare le proposizioni a seconda del soggetto; p. e. prima quelle che trattano dei segmenti, poi quelle sui raggi, sulla retta indefinita, sul triangolo, ecc.
Se nel presente saggio la soluzione delle questioni proposte ha raggiunto l’assoluto rigore, non può dirsi che essa abbia pure raggiunta la semplicità. Una semplificazione notevole si otterrebbe ordinando nel modo che già si disse le proposizioni. Altre semplificazioni possono produrre ricerche ulteriori.
Sarò lieto del faticoso lavoro fatto nel comporre e ordinare queste formule, se il mio scritto contribuirà ad escludere dalla Geometria elementare molte idee mal determinate ed inutili, ottenendo così rigore e semplicità.
- Torino, Giugno 1889.
- ↑ Arithmetices principia, nova methodo exposita. Torino 1889.
Lo studio delle principali operazioni di Logica è dovuto a G. Boole (V. ivi). Servendomi degli studii del Boole, e di altri, riuscii pel primo, nell’opuscolo menzionato, ad esporre una teoria usando puramente segni aventi significato determinato, o mediante definizione, o mediante le loro proprietà.