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Capitolo 6 - Variabili casuali unidimensionali continue

che risulta, indicando con $f(x)$ la densità di probabilità di x:

$M_{x}(t)=E(e^{tx})=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x$

(6.4)

(per una variabile continua, oppure

$M_{x}(t)=\sum \nolimits _{i}p_{i}e^{tx_{i}}$

per una variabile discreta); e, ricordando sia lo sviluppo in serie di McLaurin della funzione esponenziale

$e^{tx}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(tx)^{k}}{k!}}$

che la definizione dei momenti rispetto all’origine, se questi esistono tutti fino a qualsiasi ordine risulta anche

$M_{x}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}\lambda _{k}$

da cui

$\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}M_{x}(t)}{\mathrm {d} t^{k}}}\right|_{t=0}=\lambda _{k}$

e, in definitiva, derivando successivamente la funzione generatrice si possono ricavare tutti i momenti della funzione di frequenza da cui essa discende. Se interessa invece uno dei momenti non rispetto all’origine, ma rispetto al valore medio $\lambda$, basta considerare l’altra funzione

${\overline {M}}_{x}(t)=E\left[e^{t(x-\lambda )}\right]=e^{-t\lambda }M_{x}(t)$

(6.5)

e si trova facilmente che risulta

$\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}{\overline {M}}_{x}(t)}{\mathrm {d} t^{k}}}\right|_{t=0}=\mu _{k}$.

La speranza matematica della funzione $e^{itx}$ si chiama invece funzione caratteristica della variabile casuale x, e si indica con $\phi _{x}(t)$:

$\phi _{x}(t)=E(e^{itx})=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{itx}f(x)\,\mathrm {d} x$

(6.6)