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5.8 - Scarto ed errore quadratico medio

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caso $E(x)$ esista e sia uguale a $x^{*}$. Sappiamo insomma che risulta

${\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{M}\nu _{j}x_{j}=\sum _{j=1}^{M}f_{j}x_{j}$

$\lim _{N\rightarrow \infty }{\bar {x}}\equiv E(x)=\sum \nolimits _{j}p_{j}x_{j}$

e postuliamo che

$E(x)\equiv x^{*};$

inoltre sappiamo anche che

$E\left({\bar {x}}\right)=E(x)\equiv x^{*}.$

Ossia, non solo ${\bar {x}}$ converge ad $E(x)$ allʼaumentare della dimensione del campione; ma, qualunque sia il valore di questʼultima grandezza, mediamente ${\bar {x}}$ coincide con $E(x)$. Ripetendo varie volte la misura ed ottenendo così più campioni con differenti medie aritmetiche, dando come stima di $E(x)$ la media di uno dei nostri campioni avremo insomma la stessa probabilità di sbagliare per difetto o per eccesso¹.

5.8 Scarto ed errore quadratico medio

Lʼultimo punto da approfondire riguarda la relazione tra la varianza $s^{2}$ di un campione di $N$ misure e quella $\sigma ^{2}$ della popolazione da cui il campione proviene. Ora, $s^{2}$ si può esprimere come

$s^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}$

e possiamo osservare che (per qualsiasi numero $x^{*}$ e quindi anche per lʼincognito valore vero) vale la seguente relazione matematica:

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1. Questo nella terminologia statistica si esprime dicendo che la media dei campioni è una stima imparziale della media della popolazione; al contrario della varianza del campione che, come vedremo nel prossimo paragrafo, è una stima parziale (o distorta) della varianza della popolazione (il concetto verrà poi approfondito nel paragrafo 11.1).