Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/125

Questa pagina è stata trascritta, formattata e riletta.

8.4 - La distribuzione di Bernoulli

109

Essendo poi ognuna delle prove statisticamente indipendente dalle altre (infatti la probabilità di E non cambia di prova in prova), ognuna delle possibili sequenze di x successi ed $N-x$ fallimenti ha una probabilità di presentarsi che vale $p^{x}q^{N-x}$ ; in definitiva

P(x;N)={\frac {N!}{x!\,(N-x)!}}p^{x}q^{N-x}

(8.7)

Questa distribuzione di probabilità $P(x;N)$ per una variabile casuale discreta x si chiama distribuzione binomiale o di Bernoulli¹; vogliamo ora determinarne alcune costanti caratteristiche.

Verifichiamo per prima cosa che vale la condizione di normalizzazione: sfruttando la formula per lo sviluppo delle potenze del binomio, risulta

$\sum _{x=0}^{N}P(x;N)=\sum _{x=0}^{N}{\frac {N!}{x!\,(N-x)!}}\,p^{x}q^{N-x}={(p+q)}^{N}\;\equiv \;1$ .

Vogliamo ora calcolare la speranza matematica della variabile x (ossia il numero di successi attesi, in media, in N prove): per questo useremo la stessa variabile casuale ausiliaria già considerata nel paragrafo 5.6.3, y, che rappresenta il numero di successi nella generica delle N prove eseguite.

Avevamo a suo tempo già calcolato, sempre nel paragrafo 5.6.3, la speranza matematica della y

$E(y)=1\cdot p+0\cdot q=p$ ;

e, osservando che anche $y^{2}$ può assumere i due soli valori 1 e 0, sempre con le probabilità rispettive p e q,

$E\left(y^{2}\right)=1\cdot p+0$

e quindi la varianza della y esiste e vale

{\text{Var}}(y)=E(y^{2})-\left[E(y)\right]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq.

(8.8)

Il numero totale x di successi nelle N prove è legato ai valori y_i della y in ognuna di esse dalla

$x=\sum _{i=1}^{N}y_{i}$

↑ I Bernoulli furono una famiglia originaria di Anversa poi trasferitasi a Basilea, numerosi membri della quale ebbero importanza per le scienze del diciassettesimo e del diciottesimo secolo; quello cui vanno attribuiti gli studi di statistica ebbe nome Jacob (o Jacques), visse dal 1654 al 1705, e fu zio del più noto Daniel (cui si deve il teorema di Bernoulli della dinamica dei fluidi).

[1] I Bernoulli furono una famiglia originaria di Anversa poi trasferitasi a Basilea, numerosi membri della quale ebbero importanza per le scienze del diciassettesimo e del diciottesimo secolo; quello cui vanno attribuiti gli studi di statistica ebbe nome Jacob (o Jacques), visse dal 1654 al 1705, e fu zio del più noto Daniel (cui si deve il teorema di Bernoulli della dinamica dei fluidi).

1