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8.4 - La distribuzione di Bernoulli 109


Essendo poi ognuna delle prove statisticamente indipendente dalle altre (infatti la probabilità di E non cambia di prova in prova), ognuna delle possibili sequenze di x successi ed fallimenti ha una probabilità di presentarsi che vale ; in definitiva

(8.7)

Questa distribuzione di probabilità per una variabile casuale discreta x si chiama distribuzione binomiale o di Bernoulli1; vogliamo ora determinarne alcune costanti caratteristiche.

Verifichiamo per prima cosa che vale la condizione di normalizzazione: sfruttando la formula per lo sviluppo delle potenze del binomio, risulta

.

Vogliamo ora calcolare la speranza matematica della variabile x (ossia il numero di successi attesi, in media, in N prove): per questo useremo la stessa variabile casuale ausiliaria già considerata nel paragrafo 5.6.3, y, che rappresenta il numero di successi nella generica delle N prove eseguite.

Avevamo a suo tempo già calcolato, sempre nel paragrafo 5.6.3, la speranza matematica della y

;

e, osservando che anche può assumere i due soli valori 1 e 0, sempre con le probabilità rispettive p e q,

e quindi la varianza della y esiste e vale

(8.8)

Il numero totale x di successi nelle N prove è legato ai valori y_i della y in ognuna di esse dalla



  1. I Bernoulli furono una famiglia originaria di Anversa poi trasferitasi a Basilea, numerosi membri della quale ebbero importanza per le scienze del diciassettesimo e del diciottesimo secolo; quello cui vanno attribuiti gli studi di statistica ebbe nome Jacob (o Jacques), visse dal 1654 al 1705, e fu zio del più noto Daniel (cui si deve il teorema di Bernoulli della dinamica dei fluidi).