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Capitolo 5 - Variabili casuali unidimensionali discrete

e ad essa ci riferiremo come varianza della popolazione della variabile casuale $x$; come $E(x)$, e per gli stessi motivi, anchʼessa potrebbe non esistere per quelle variabili che assumono un numero infinito di possibili valori.

Le considerazioni dei paragrafi seguenti si applicano ovviamente solo a popolazioni di variabili casuali per le quali esista finita la speranza matematica e, qualora la si consideri, la varianza. Inoltre non useremo mai la definizione empirica di probabilità, ma quella assiomatica; e vedremo come, partendo da essa, si possa dimostrare la legge detta “dei grandi numeri” già enunciata nel paragrafo 3.5: ossia la convergenza, allʼaumentare del numero di prove effettuate, della frequenza di un qualsiasi evento casuale alla sua probabilità.

5.3 Il valore medio delle combinazioni lineari

Consideriamo due variabili casuali $x$ e $y$, aventi speranza matematica $E(x)$ ed $E(y)$ rispettivamente; ed una loro qualsiasi combinazione lineare a coefficienti costanti $z=ax+by$. Vogliamo dimostrare ora che la speranza matematica della nuova variabile $z$ esiste, ed è data dalla combinazione lineare delle speranze matematiche di $x$ e di $y$ con gli stessi coefficienti $a$ e $b$.

Indichiamo con $x_{j}$ i possibili valori della prima variabile, e con $y_{k}$ quelli della seconda; indichiamo poi con $p_{j}$ e $q_{k}$ le probabilità di ottenere un determinato valore rispettivamente per la $x$ e per la $y$. Chiamiamo poi $P_{jk}$ la probabilità che simultaneamente si abbia $x=x_{j}$ ed $y=y_{k}$; un particolare valore per la $x$ potrà essere associato ad uno qualsiasi dei diversi valori della $y$, che sono tra loro mutuamente esclusivi: in definitiva, applicando la legge della probabilità totale (equazione (3.2)) risulterà

$p_{j}=\sum \nolimits _{k}P_{jk}$

e

$q_{k}=\sum \nolimits _{j}P_{jk}$.

Per la speranza matematica $E(z)$ di $z$ avremo poi

$~E(ax+by)$	$=$	$\sum \nolimits _{jk}P_{jk}\left(ax_{j}+by_{k}\right)$
	$=$	$\sum \nolimits _{jk}aP_{jk}x_{j}+\sum \nolimits _{jk}bP_{jk}y_{k}$
	$=$	$a\sum \nolimits _{j}\left(\sum \nolimits _{k}P_{jk}\right)x_{j}+b\sum \nolimits _{k}\left(\sum \nolimits _{j}P_{jk}\right)y_{k}$
	$=$	$a\sum \nolimits _{j}p_{j}x_{j}+b\sum \nolimits _{k}q_{k}y_{k}$
	$=$	$aE(x)+bE(y)~$.