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Capitolo 5 - Variabili casuali unidimensionali discrete

riferite all’intera popolazione (teoria del campionamento); e dimostreremo la validità della legge dei grandi numeri.

5.1 Generalità

Riprendiamo ora il concetto di variabile casuale già introdotto in precedenza nel paragrafo 3.1, e consideriamo alcuni esempi: se si associa ad ogni faccia di un dado un numero compreso tra 1 e 6 (il punteggio inciso sulla faccia stessa), si definisce una variabile casuale discreta; se l’evento casuale consiste invece nel lancio di due monete, indicando con $E$ l’apparizione della testa nel lancio della prima e con $F$ l’apparizione della testa nel lancio della seconda, il numero $x$ di teste osservate nell’evento è ancora una variabile casuale discreta, la cui definizione è data dalla tabella seguente:

	$x$
$EF$	$2$
$E{\bar {F}}$	$1$
${\bar {E}}F$	$1$
${\bar {E}}{\bar {F}}$	$0$

e, come si può notare, la corrispondenza tra la variabile casuale e l’insieme dei possibili risultati non è in questo caso biunivoca.

Se l’insieme di definizione è continuo, la variabile casuale $x(E)$ può essere continua; è questo il caso più frequente nella fisica, ad esempio per le misure: ma anche in tal caso, a causa della sensibilità limitata degli strumenti, l’intervallo continuo di definizione della variabile $x$ viene in pratica suddiviso in un numero finito $M$ di intervalli, che vengono rappresentati dai valori centrali $x_{j}$ della variabile casuale.

Detta $v_{j}$ la frequenza assoluta con cui si è presentato il risultato $x_{j}$ nelle $N$ prove complessive, sarà

$\sum _{j=1}^{M}\nu _{j}=N$

(potendo alcune frequenze $v_{j}$ risultare nulle perché i corrispondenti valori $x_{j}$ non sono stati osservati nelle prove). Indicata con

$f_{j}={\frac {\nu _{j}}{N}}$

la frequenza relativa del valore $x_{j}$ nelle $N$ prove, dalla prima relazione segue

$\sum _{j=1}^{M}f_{j}=\sum _{j=1}^{M}{\frac {\nu _{j}}{N}}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{M}\nu _{j}\equiv 1$