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Appendice E - La funzione di verosimiglianza |
Infine, sottraendo membro a membro da questa equazione la precedente (E.1) moltiplicata per 
, si ottiene
ovvero
![{\displaystyle E\left\{{\bigl [}t-\tau (\theta ){\bigr ]}\cdot {\frac {\partial \left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \theta }}\right\}=\tau '(\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4abd8317cc24f75f15aee0ee0c87276f7fd480d)
.
Se ora si definiscono il rapporto
![{\displaystyle R(\theta )={\frac {E\left\{\left[t-\tau (\theta )\right]\cdot {\dfrac {\partial (\ln {\mathcal {L}})}{\partial \theta }}\right\}}{E\left\{\left[{\dfrac {\partial (\ln {\mathcal {L}})}{\partial \theta }}\right]^{2}\right\}}}={\frac {\tau '(\theta )}{E\left\{\left[{\dfrac {\partial (\ln {\mathcal {L}})}{\partial \theta }}\right]^{2}\right\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a27870bec48949cb660cbee806f7e61f74f113)
(che è una costante dipendente da 
; osserviamo anche che deve risultare 
) e la variabile casuale
![{\displaystyle z=\left[t-\tau (\theta )\right]-R(\theta )\,{\frac {\partial \left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446da6551846714b7066c84113d6659e81498963)
il cui quadrato risulta essere
![{\displaystyle z^{2}=\left[t-\tau (\theta )\right]^{2}-2\,R(\theta )\cdot \left[t-\tau (\theta )\right]{\frac {\partial \left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \theta }}+R^{2}(\theta )\cdot \left[{\frac {\partial \left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \theta }}\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1582d4553672e7070165c5e5760a8a05580b5c98)
prendendo il valore medio di 
si ottiene
![{\displaystyle E(z^{2})\;=\;E\left\{{\bigl [}t-\tau (\theta ){\bigr ]}^{2}\right\}-2\,R(\theta )\cdot E\left\{{\bigl [}t-\tau (\theta ){\bigr ]}\cdot {\frac {\partial \left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \theta }}\right\}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1bf5c447d675eb0feb595418568e7ba26541da)
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![{\displaystyle +\;R^{2}(\theta )\cdot E\left\{\left[{\frac {\partial \left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \theta }}\right]^{2}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86dc425bb6e1ee64f0ec8b1a476e532c630c21e1)
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ossia
![{\displaystyle E(z^{2})\;=\;{\sigma _{t}}^{2}2\,{\frac {\tau '(\theta )}{E\left\{\left[{\dfrac {\partial \left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \theta }}\right]^{2}\right\}}}\,\tau '(\theta )+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06daec5dc9bbdea3405a769497a3e5d76efd6f80)
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![{\displaystyle +\;\left\{{\frac {\tau '(\theta )}{E\left\{\left[{\dfrac {\partial \left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \theta }}\right]^{2}\right\}}}\right\}^{2}E\left\{\left[{\frac {\partial \left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \theta }}\right]^{2}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f964423d03d728d81a398e5a7fce3e244a390aa)
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