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C.4 - Applicazioni all’interpolazione lineare

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low o, più in breve, nel paragrafo 11.3.1 di Eadie et al. (testo sempre citato nella bibliografia); qui ricordiamo solo come:

1. se $N_{+}=0$ o $N_{-}=0$ (caso impossibile questo per i residui di un'interpolazione lineare) l'unico valore possibile è $N_{r}=1$.
2. Se $N_{+}>0$ e $N_{-}>0$, ed indicando con $m=\min(N_{+},N_{-})$ il più piccolo di questi due valori, il numero di runs $N_{r}$ è compreso tra i seguenti estremi:

   ${\begin{cases}2\leq N_{r}\leq 2m&\qquad \qquad {\text{se}}~~N_{+}=N_{-}=m~;\\2\leq N_{r}\leq 2m+1&\qquad \qquad {\text{se}}~~N_{+}\neq N_{-}~.\end{cases}}$

   Il massimo valore di $N_{r}$ corrisponde, nel primo caso, ad un alternarsi di valori positivi e negativi; nel secondo, a singoli valori del segno che si è presentato con minore frequenza che separino sequenze di uno o più valori dell'altro segno.
3. Se $N_{r}$ è pari, con $N_{r}=2s$, la probabilità di avere $N_{r}$ runs è data da

$\Pr(N_{r})=2\,{\frac {{\binom {N_{+}-1}{s-1}}{\binom {N_{-}-1}{s-1}}}{\binom {N}{N_{+}}}}$;

(C.14)

4. se $N_{r}$ è dispari, con $N_{r}=2s-1$ (ed ovviamente $s\geq 2$ essendo $N_{+}>0$ e $N_{-}>0$), la probabilità di avere $N_{r}$ runs è data da

   $\Pr(N_{r})={\frac {{\binom {N_{+}-1}{s-2}}{\binom {N_{-}-1}{s-1}}+{\binom {N_{+}-1}{s-1}}{\binom {N_{-}-1}{s-2}}}{\binom {N}{N_{+}}}}$.

   (C.15)

5. In ogni caso, valore medio e varianza di $N_{r}$ valgono rispettivamente

   $E(N_{r})=1+2\,{\frac {N_{+}N_{-}}{N}}$

   e

   ${\text{Var}}(N_{r})=2\,{\frac {N_{+}N_{-}\left(2N_{+}N_{-}-N\right)}{N^{2}\,(N-1)}}$.

Nel caso della figura C1 ($N_{+}=N_{-}=6$) la probabilità di ottenere casualmente $N_{r}\leq 3$, calcolata applicando direttamente le formule (C.14) e (C.15), vale appena l'1.3%; è insomma lecito (almeno ad un livello di confidenza del 98.7%) rigettare l'ipotesi di un andamento lineare della $y$ in funzione di $x$.