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Appendice C - Covarianza e correlazione

di $S_{M}$ sotto l’ipotesi $y=P_{M}(x)$ può dunque essere stimata dalle tabelle della distribuzione, e ci dà una misura statisticamente corretta dell’“accordo complessivo” tra i punti misurati ed un polinomio di grado $M$.

Per valutare numericamente la significatività della variazione di questo “accordo complessivo” dovuta ad un aumento di grado del polinomio interpolante, la regola di somma del $\chi ^{2}$ ci dice che la variazione della somma pesata dei quadrati dei residui, $S_{M-1}-S_{M}$, deve essere distribuita come il $\chi ^{2}$ ad un grado di libertà; normalmente, in luogo di usare direttamente $S_{M-1}-S_{M}$, si considera l’altra variabile casuale

$F={\frac {S_{M-1}-S_{M}}{\dfrac {S_{M}}{N-M-1}}}$

(che rappresenta una sorta di “variazione relativa dell’accordo complessivo”), e la si confronta con la funzione di frequenza di Fisher a 1 e $(N-M-1)$ gradi di libertà; un valore di $F$ elevato, e che con piccola probabilità potrebbe essere ottenuto da quella distribuzione, implicherà che l’aumento di grado è significativo.

C.4.7. Il run test per i residui

Un’altra tecnica che ci permette di capire se una funzione di primo grado è o meno adeguata a rappresentare un insieme di dati è quella che consiste nell’osservare l’andamento, in funzione della $x$, del solo segno dei residui $\delta _{i}$ differenza tra i valori misurati e quelli stimati della $y$:

$\delta _{i}\;=\;y_{i}-{\widehat {y}}_{i}\;=\;y_{i}-(a+b\,x_{i})$.

Per meglio chiarire questo concetto, osserviamo la figura C1 tratta dal paragrafo 8.3.2 del testo di Barlow citato nella bibliografia (appendice H, a pagina 323). È evidente come l’andamento dei dati sperimentali non suggerisca affatto l’ipotesi di una dipendenza lineare del tipo $y=A+Bx$; questo anche se l’entità degli errori assunti sulle $y_{i}$ fa sì che l’accordo tra i dati stessi e la retta interpolante, se valutato con il calcolo del $\chi ^{2}$, risulti comunque accettabile: infatti il metodo citato usa come stima la somma dei quadrati dei rapporti tra i residui e gli errori stimati, ovviamente piccola se questi ultimi sono stati sopravvalutati.

Quello che è in grado di suggerire il sospetto di un andamento non lineare della legge $y=y(x)$, in casi come questo, è un altro tipo di controllo basato appunto sul solo segno dei residui e non sul loro valore (come il calcolo del $\chi ^{2}$, o dell’errore a posteriori, o del coefficiente di correlazione lineare, o