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11.4 - Interpolazione dei dati con una curva

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In definitiva, $a$ e $b$ hanno errori quadratici medi dati dalle

$\left\{{\begin{array}{ccl}\sigma _{a}&=&\sigma _{y}\,{\sqrt {\dfrac {\sum \nolimits _{i}x_{i}^{2}}{\Delta }}}\\\sigma _{b}&=&\sigma _{y}\,{\sqrt {\dfrac {N}{\Delta }}}\end{array}}\right.$

(11.11)

ed il fatto poi che $a$ e $b$ siano funzioni lineari di variabili che seguono la legge di Gauss ci permette ancora di affermare che anch’esse sono distribuite secondo la legge normale; e di attribuire così ai loro errori il consueto significato statistico.

11.4.2 Stima a posteriori degli errori di misura

È da osservare come nelle formule (11.10) dei minimi quadrati non compaia il valore di $\sigma _{y}$: la soluzione del problema dell’interpolazione lineare è indipendente dall’entità degli errori di misura, nel senso che i coefficienti della retta interpolante possono essere calcolati anche se gli errori sulle $y$ non sono noti (purché naturalmente si assuma che siano tutti uguali tra loro).

Se non è a priori nota la varianza delle $y$, essa può però essere stimata a partire dai dati stessi una volta eseguita l’interpolazione lineare; infatti gli stessi ragionamenti fatti per le variabili casuali unidimensionali potrebbero essere ripetuti (con le opportune modifiche) sul piano, per giungere a risultati analoghi.

In una dimensione abbiamo a suo tempo potuto collegare l’errore commesso alla dispersione dei dati rispetto al valore stimato della grandezza misurata; sul piano è in effetti ancora possibile calcolare l’errore commesso, partendo dalla dispersione dei dati misurata rispetto alla retta stimata che passa attraverso di essi: dati disposti mediamente lontano da questa retta indicheranno errori maggiori rispetto a dati ben allineati (e quindi vicini alla retta interpolante).

In una dimensione abbiamo visto che la dispersione dei dati, misurata dal valore medio del quadrato degli scarti rispetto alla loro media aritmetica (nostra migliore stima per la grandezza misurata), era sistematicamente in difetto rispetto alla corrispondente grandezza riferita all'intera popolazione delle misure. Sul piano si può, analogamente, dimostrare che il valore medio del quadrato delle distanze dei punti misurati dalla retta nostra migliore stima è ancora sistematicamente in difetto rispetto alla varianza riferita alla popolazione delle misure ed alla retta vera che corrisponde alla legge fisica reale che collega le due variabili.