258 Appendice C - Covarianza e correlazione
Possiamo allora scrivere la (C.2) nella forma
Var
(
z
)
=
∑
i
,
j
A
~
i
V
i
j
A
j
{\displaystyle {\text{Var}}(z)=\sum _{i,j}{\widetilde {A}}_{i}\,V_{ij}\,A_{j}}
(la simmetria di
V
{\displaystyle {\boldsymbol {V}}}
A
~
{\displaystyle {\boldsymbol {\widetilde {A}}}}
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
Var(z)
=
A
~
V
A
{\displaystyle {\text{Var(z)}}={\boldsymbol {\widetilde {A}}}\,{\boldsymbol {V}}\,{\boldsymbol {A}}}
Si può poi facilmente dimostrare il seguente teorema, che ci sarà utile più avanti:
Teorema : due differenti combinazioni lineari delle stesse variabili casuali sono sempre correlate .
Infatti, dette
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
=
∑
i
=
1
N
a
i
x
i
{\displaystyle A=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\,x_{i}}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
E
(
A
)
=
∑
i
=
1
N
a
i
E
(
x
i
)
{\displaystyle E(A)=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\,E(x_{i})}
B
=
∑
j
=
1
N
b
j
x
j
{\displaystyle B=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\,x_{j}}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
E
(
B
)
=
∑
j
=
1
N
b
j
E
(
x
j
)
{\displaystyle E(B)=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\,E(x_{j})}
abbiamo che la covarianza di
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Cov
(
A
,
B
)
{\displaystyle {\text{Cov}}(A,B)}
=
E
{
[
A
−
E
(
A
)
]
[
B
−
E
(
B
)
]
}
{\displaystyle =E{\Biggl \{}{\Bigl [}A-E(A){\Bigr ]}\,{\Bigl [}B-E(B){\Bigr ]}{\Biggr \}}}
=
E
{
∑
i
,
j
a
i
b
j
[
x
i
−
E
(
x
i
)
]
[
x
j
−
E
(
x
j
)
]
}
{\displaystyle =E\left\{\sum _{i,j}a_{i}\,b_{j}\,{\Bigl [}x_{i}-E{\bigl (}x_{i}{\bigr )}{\Bigr ]}\,{\Bigl [}x_{j}-E{\bigl (}x_{j}{\bigr )}{\Bigr ]}\right\}}
=
∑
i
,
j
a
i
b
j
E
{
[
x
i
−
E
(
x
i
)
]
[
x
j
−
E
(
x
j
)
]
}
{\displaystyle =\sum _{i,j}a_{i}\,b_{j}E{\Biggl \{}{\Bigl [}x_{i}-E{\bigl (}x_{i}{\bigr )}{\Bigr ]}\,{\Bigl [}x_{j}-E{\bigl (}x_{j}{\bigr )}{\Bigr ]}{\Biggr \}}}
=
∑
i
a
i
b
i
Var
(
x
i
)
+
∑
i
,
j
i
≠
j
a
i
b
j
Cov
(
x
i
,
x
j
)
{\displaystyle =\sum _{i}a_{i}\,b_{i}{\text{Var}}(x_{i})+\sum _{\begin{array}{c}i,j\\i\neq j\end{array}}a_{i}\,b_{j}{\text{Cov}}(x_{i},x_{j})}
e non è in genere nulla. In forma matriciale e con ovvio significato dei simboli,
Cov
(
A
,
B
)
=
A
~
V
B
{\displaystyle {\text{Cov}}(A,B)={\boldsymbol {\widetilde {A}}}\,{\boldsymbol {V}}\,{\boldsymbol {B}}}
![{\displaystyle =E{\Biggl \{}{\Bigl [}A-E(A){\Bigr ]}\,{\Bigl [}B-E(B){\Bigr ]}{\Biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f4d6196a1c99bb67111b7122303d79b06c6e48)
![{\displaystyle =E\left\{\sum _{i,j}a_{i}\,b_{j}\,{\Bigl [}x_{i}-E{\bigl (}x_{i}{\bigr )}{\Bigr ]}\,{\Bigl [}x_{j}-E{\bigl (}x_{j}{\bigr )}{\Bigr ]}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbfad4a3d443e7bf92514ea97b44d4e8cbcf668)
![{\displaystyle =\sum _{i,j}a_{i}\,b_{j}E{\Biggl \{}{\Bigl [}x_{i}-E{\bigl (}x_{i}{\bigr )}{\Bigr ]}\,{\Bigl [}x_{j}-E{\bigl (}x_{j}{\bigr )}{\Bigr ]}{\Biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77086aa5345ea1f531b857ed09a8c09a0c42d3f9)
