Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/273

C.1 - La covarianza

257

per le quali già sappiamo che vale la

$E(\xi )=E(\eta )=0$

con le

${\text{Var}}(\xi )={\text{Var}}(x)$

e

${\text{Var}}(\eta )={\text{Var}}(y)$;

basta osservare infatti che vale anche la

${\text{Cov}}(x,y)\;=\;E{\Bigl \{}\left[x-E(x)\right]\left[y-E(y)\right]{\Bigr \}}={\text{Cov}}(\xi ,\eta )$.

La (C.1) si può poi generalizzare, per induzione completa, ad una variabile $z$ definita come combinazione lineare di un numero qualsiasi $N$ di variabili casuali: si trova che, se

$z=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\,x_{i}$

risulta

${\text{Var}}(z)=\sum _{i}{a_{i}}^{2}\,{\text{Var}}(x_{i})+\sum _{\begin{array}{c}i,j\\j>i\end{array}}2\,a_{i}\,a_{j}\,{\text{Cov}}(x_{i},x_{j})$.

(C.2)

Per esprimere in modo compatto la (C.2), si ricorre in genere ad una notazione che usa la cosiddetta matrice delle covarianze delle variabili $x$; ovverosia una matrice quadrata ${\boldsymbol {V}}$ di ordine $N$, in cui il generico elemento $V_{ij}$ è uguale alla covarianza delle variabili casuali $x_{i}$ e $x_{j}$:

$V_{ij}\;=\;{\text{Cov}}(x_{i},x_{j})\;=\;E(x_{i}\cdot x_{j})-E(x_{i})\cdot E(x_{j})$.

(C.3)

La matrice è ovviamente simmetrica ($V_{ij}=V_{ji}$); e, in particolare, gli elementi diagonali $V_{ii}$ valgono

$V_{ii}\;=\;E({x_{i}}^{2})-{\bigl [}E(x_{i}){\bigr ]}^{2}\;\equiv \;{\text{Var}}(x_{i})$.

Consideriamo poi le $a_{i}$ come le $N$ componenti di un vettore ${\boldsymbol {A}}$ di dimensione $N$ (che possiamo concepire come una matrice rettangolare di $N$ righe ed una colonna); ed introduciamo la matrice trasposta di ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {\widetilde {A}}}$, che è una matrice rettangolare di una riga ed $N$ colonne i cui elementi valgono

${\widetilde {A}}_{i}=A_{i}$.