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Appendice C - Covarianza e correlazione

È chiaro come per variabili statisticamente indipendenti la covarianza sia nulla: infatti per esse vale la

$E(xy)=\sum \nolimits _{ij}P_{ij}\,x_{i}\,y_{j}\;=\;\sum \nolimits _{ij}\,p_{i}\,q_{j}\,x_{i}\,y_{j}\;=\;E(x)\cdot E(y)$.

Non è però vero l’inverso: consideriamo ad esempio le due variabili casuali $x$ ed $y=x^{2}$, ovviamente dipendenti l’una dall’altra: la loro covarianza vale

${\text{Cov}}(x,y)\;=\;E(xy)-E(x)\cdot E(y)\;=\;E(x^{3})-E(x)\cdot E(x^{2})$

ed è chiaramente nulla per qualunque variabile casuale $x$ con distribuzione simmetrica rispetto allo zero; quindi l’annullarsi della covarianza è condizione necessaria ma non sufficiente per l’indipendenza statistica di due variabili casuali.

Possiamo ora calcolare la varianza delle combinazioni lineari di due variabili casuali qualunque, estendendo la formula già trovata nel capitolo 5 nel caso particolare di variabili statisticamente indipendenti; partendo ancora da due variabili $x$ e $y$ con media zero per semplificare i calcoli, per la loro combinazione lineare $z=ax+by$ valgono le:

$E(z)$	$=a\,E(x)+b\,E(y)=0$
${\text{Cov}}(x,y)$	$=E(xy)-E(x)\cdot E(y)=E(xy)$
${\text{Var}}(z)$	$=E\left\{{\bigl [}z-E(z){\bigr ]}^{2}\right\}$
	$=E{\bigl (}z^{2}{\bigr )}$
	$=E\left[(ax+by)^{2}\right]$
	$=\sum \nolimits _{ij}P_{ij}(a\,x_{i}+b\,y_{j})^{2}$
	$=a^{2}\sum \nolimits _{ij}P_{ij}\,{x_{i}}^{2}\;+\;b^{2}\sum \nolimits _{ij}P_{ij}\,{y_{j}}^{2}\;+\;2ab\sum \nolimits _{ij}P_{ij}\,x_{i}\,y_{j}$
	$=a^{2}\sum \nolimits _{i}p_{i}{x_{i}}^{2}\;+\;b^{2}\sum \nolimits _{j}q_{j}{y_{j}}^{2}\;+\;2ab\,E(xy)$

ed infine

${\text{Var}}(z)=a^{2}\,{\text{Var}}(x)+b^{2}\,{\text{Var}}(y)+2ab\,{\text{Cov}}(x,y)$.

(C.1)

Questa si estende immediatamente a variabili casuali con media qualsiasi: introducendo ancora le variabili ausiliarie

$\xi =x-E(x)$

ed

$\eta =y-E(y)$