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Appendice B - L'errore della varianza

contribuiscono alla media ed il numero dei dati stessi:

${\sigma _{\bar {x}}}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{N}}$

(teorico).

Come stima di $\sigma$ si può usare l'errore quadratico medio dell'insieme di tutti gli $N\cdot M$ dati; ma, naturalmente, perché il confronto tra questi due numeri abbia un significato, occorre conoscere gli errori da cui sia la valutazione sperimentale che la previsione teorica di $\sigma _{\bar {x}}$ sono affette.

Consideriamo (come già fatto precedentemente) una popolazione a media zero per semplificare i calcoli:

$E(x)\;\equiv \;x^{*}\;=\;0$;

i risultati si potranno in seguito facilmente estendere ad una popolazione qualsiasi, tenendo presente il teorema di pagina 52 ed i ragionamenti conseguenti. La varianza di una qualsiasi variabile casuale $x$, indicata di seguito come ${\text{Var}}(x)$, si può scrivere come

${\text{Var}}(x)=E\left(x^{2}\right)-\left[E(x)\right]^{2}$

e, usando questa formula per calcolare la varianza della varianza di un campione di $N$ misure $s^{2}$, avremo

${\text{Var}}\left(s^{2}\right)=E\left(s^{4}\right)-\left[E\left(s^{2}\right)\right]^{2}$.

Ora

$s^{4}$	$=\left[{\frac {\sum _{i}{x_{i}}^{2}}{N}}-\left({\frac {\sum _{i}x_{i}}{N}}\right)^{2}\right]^{2}$
	$={\frac {1}{N^{2}}}\left(\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}\right)^{2}-{\frac {2}{N^{3}}}\left(\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}\right)\left(\sum \nolimits _{i}x_{i}\right)^{2}+{\frac {1}{N^{4}}}\left(\sum \nolimits _{i}x_{i}\right)^{4}.$

Sviluppiamo uno per volta i tre termini a secondo membro; per il primo risulta

$\left(\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}\right)^{2}$	$=\left(\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}\right){\Bigl (}\sum \nolimits _{j}{x_{j}}^{2}{\Bigr )}$
	$=\sum \nolimits _{i}\left({x_{i}}^{2}\sum _{j=i}{x_{j}}^{2}\right)+\sum \nolimits _{i}\left({x_{i}}^{2}\sum _{j\neq i}{x_{j}}^{2}\right)$
	$=\sum _{i}{x_{i}}^{4}+\sum _{\begin{array}{c}i,j\\j\neq i\end{array}}{x_{i}}^{2}{x_{j}}^{2}$
	$=\sum _{i}{x_{i}}^{4}+2\sum _{\begin{array}{c}i,j\\j<i\end{array}}{x_{i}}^{2}{x_{j}}^{2}$.