Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/239

12.6 - La distribuzione di Fisher

223

Il valore medio e la varianza della funzione di frequenza di Fisher sono dati poi rispettivamente da

	$E(F)={\frac {N}{N-2}}$	(se $N>2$)
e da
	${\text{Var}}(F)={\frac {2\,N^{2}(M+N-2)}{M(N-2)^{2}(N-4)}}$	(se $N>4$).

Si può dimostrare che, se $Y$ è una variabile casuale distribuita come il $\chi ^{2}$ ad $N$ gradi di libertà,

$\lim _{N\to +\infty }{\frac {Y}{N}}=1$

in senso statistico (ovverosia la probabilità che il rapporto $Y/N$ sia differente da 1 tende a zero quando $N$ viene reso arbitrariamente grande); per cui, indicando con $f(x;M)$ la funzione di frequenza del $\chi ^{2}$ ad $M$ gradi di libertà,

$F(w;M,\infty )\;\equiv \;\lim _{N\to +\infty }F(w;M,N)\;=\;{\frac {f(w;M)}{M}}$.

Allo stesso modo

$F(w;\infty ,N)\;\equiv \;\lim _{M\to +\infty }F(w;M,N)\;=\;{\frac {N}{f(w;N)}}$

e quindi esiste una stretta relazione tra le distribuzioni di Fisher e del chi quadro.

Inoltre, ricordando che, se $u$ è una variabile casuale distribuita secondo la legge normale standardizzata $N(u;0,1)$, l’altra variabile casuale $u^{2}$ è distribuita come il $\chi ^{2}$ ad un grado di libertà, il rapporto

$w={\frac {u^{2}}{\dfrac {Y}{N}}}$

deve essere distribuito secondo $F(w;1,N)$; ma, se definiamo

$t={\frac {u}{\sqrt {\dfrac {Y}{N}}}}$

sappiamo anche dalla (12.16) che la $t$ segue la distribuzione di Student ad $N$ gradi di libertà. La conclusione è che il quadrato di una variabile $t$ che segua