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12.2 - Verifiche basate sulla distribuzione del χ²

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e si possono ulteriormente semplificare, visto che l’ultimo termine si annulla, essendo

$\sum _{i=1}^{M}{\frac {\partial p_{i}}{\partial \alpha _{k}}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial \alpha _{k}}}\sum _{i=1}^{M}p_{i}\;=\;{\frac {\partial }{\partial \alpha _{k}}}\,1\;\equiv \;0$

se si fa l’ulteriore ipotesi che l’intervallo dei valori indagati copra, anche approssimativamente, tutti quelli in pratica permessi; per cui il sistema di equazioni da risolvere è in questo caso quello delle

\sum _{i=1}^{M}{\frac {n_{i}}{p_{i}}}\,{\frac {\partial p_{i}}{\partial \alpha _{k}}}=0

.

(12.12)

Per la stima di parametri incogniti a partire da dati misurati abbiamo già affermato che teoricamente è da preferire il metodo della massima verosimiglianza, le cui soluzioni sono quelle affette, come sappiamo, dal minimo errore casuale (almeno asintoticamente); in questo caso particolare (dati in istogramma), come lo si dovrebbe applicare? Se le misure sono indipendenti, la probabilità di avere $n_{i}$ eventi nella generica classe di frequenza è data da $p_{i}^{n_{i}}$ ; la funzione di verosimiglianza¹ da

{\mathcal {L}}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{R})=\prod _{i=1}^{M}p_{i}^{n_{i}}

(12.13)

ed il suo logaritmo da

$\ln {\mathcal {L}}=\sum _{i=1}^{M}\left(n_{i}\cdot \ln p_{i}\right)$ .

La soluzione di massima verosimiglianza (e quindi di minima varianza) si trova cercando il massimo di $\ln {\mathcal {L}}$ : e risolvendo quindi il sistema delle

${\frac {\partial }{\partial \alpha _{k}}}\,\ln {\mathcal {L}}\;=\;\sum _{i=1}^{M}n_{i}\,{\frac {1}{p_{i}}}\,{\frac {\partial p_{i}}{\partial \alpha _{k}}}\;=\;0$ ;

in questo caso, vista l’equazione (12.12) in precedenza ricavata, i due metodi (della massima verosimiglianza e del minimo $\chi ^{2}$ semplificato) conducono dunque alla stessa soluzione.

↑ Per essere precisi, la probabilità che $n_{1}$ misure si trovino nella prima classe di frequenza, $n_{2}$ nella seconda e così via, è dato dalla espressione (12.13) moltiplicata per il numero di modi differenti in cui $N$ oggetti possono essere suddivisi in $M$ gruppi composti da $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{M}$ oggetti rispettivamente (numero delle partizioni ordinate) questo vale, come mostrato nel paragrafo A.7, $N!/(n_{1}!\,n_{2}!\cdots n_{M}!)$ , e rappresenta un fattore costante che non incide nella ricerca del massimo della (12.13).

[1] Per essere precisi, la probabilità che $n_{1}$ misure si trovino nella prima classe di frequenza, $n_{2}$ nella seconda e così via, è dato dalla espressione (12.13) moltiplicata per il numero di modi differenti in cui $N$ oggetti possono essere suddivisi in $M$ gruppi composti da $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{M}$ oggetti rispettivamente (numero delle partizioni ordinate) questo vale, come mostrato nel paragrafo A.7, $N!/(n_{1}!\,n_{2}!\cdots n_{M}!)$ , e rappresenta un fattore costante che non incide nella ricerca del massimo della (12.13).

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