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Capitolo 12 - La verifica delle ipotesi (I)

solo se vale la

$\sum \nolimits _{i}A_{ij}\,A_{ik}=\delta _{jk}={\begin{cases}0&{\text{per }}j\neq k\\1&{\text{per }}j=k\end{cases}}$

(12.3)

(il simbolo $\delta _{jk}$, che assume il valore 1 quando gli indici sono uguali e 0 quando sono invece diversi, si chiama simbolo di Kronecker o delta di Kronecker).

Consideriamo gli $A_{ij}$ come gli elementi di una matrice quadrata ${\boldsymbol {A}}$ di ordine $N$; gli $x_{j}$ e le $y_{i}$ si possono invece considerare come le componenti di due vettori ${\boldsymbol {X}}$ ed ${\boldsymbol {Y}}$ definiti in uno spazio $N$-dimensionale — ossia come gli elementi di due matrici rettangolari con $N$ righe ed 1 colonna.

La trasformazione che muta ${\boldsymbol {X}}$ in ${\boldsymbol {Y}}$ si può scrivere, in forma matriciale, come ${\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {X}}$; la somma dei quadrati delle $x_{j}$ o delle $y_{i}$ altro non è se non il prodotto scalare, di ${\boldsymbol {X}}$ ed ${\boldsymbol {Y}}$ rispettivamente, per loro stessi: ovverosia la loro norma, il quadrato della loro lunghezza nello spazio a $N$ dimensioni. Quella che abbiamo ricavato adesso è la condizione perché una trasformazione lineare applicata ad un vettore ne conservi la lunghezza: occorre e basta che la matrice ${\boldsymbol {A}}$ sia ortogonale. Infatti la (12.3) si può scrivere

${\boldsymbol {\widetilde {A}}}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {1}}$

ossia

${\boldsymbol {\widetilde {A}}}={\boldsymbol {A}}^{-1}$

(${\boldsymbol {\widetilde {A}}}$ è la matrice trasposta di ${\boldsymbol {A}}$, di elementi ${\boldsymbol {\widetilde {A}}}_{ij}=A_{ji}$; ${\boldsymbol {1}}$ è la matrice unità, di elementi ${\boldsymbol {1}}_{ij}=\delta _{ij}$; ${\boldsymbol {A}}^{-1}$ è la matrice inversa di ${\boldsymbol {A}}$; ed una matrice per cui ${\boldsymbol {\widetilde {A}}}={\boldsymbol {A}}^{-1}$ si dice, appunto, ortogonale).

Consideriamo adesso una trasformazione lineare definita dalle seguenti relazioni:

${\begin{cases}y_{1}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}\,(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{N})\\y_{2}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\,(x_{1}x_{2})\\y_{3}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {6}}}\,(x_{1}+x_{2}-2x_{3})\\\cdots \\y_{N}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N(N-1)}}}\,{\bigl [}x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{N-1}-(N-1)x_{N}{\bigr ]}\end{cases}}$

(12.4)

e per la quale la matrice di trasformazione abbia, insomma, elementi $A_{ij}$