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Capitolo 11 - Stime di parametri

11.4.4 Interpolazione lineare nel caso generale

Le condizioni 1) e 2) sugli errori delle grandezze misurate $x$ e $y$ date nel paragrafo 11.4.1 non potranno ovviamente mai essere verificate esattamente; come ci si deve comportare quando nemmeno in prima approssimazione le possiamo considerare vere?

Se gli errori quadratici medi delle $y_{i}$ sono tra loro diversi, non è più possibile raccogliere a fattore comune $1/\sigma ^{2}$ nell’espressione del logaritmo della verosimiglianza; e ciascun addendo sarà diviso per il corrispondente errore $\sigma _{i}$. In definitiva la retta più verosimile si trova cercando il minimo della funzione

$f(a,b)=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {(a+bx_{i})-y_{i}}{\sigma _{i}}}\right]^{2}$.

Questo avviene quando

$\left\{{\begin{array}{ccl}a&=&{\dfrac {1}{\Delta }}\left[\left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {{x_{i}}^{2}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\cdot \left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {y_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)-\left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {x_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\cdot \left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {x_{i}y_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\right]\\b&=&{\dfrac {1}{\Delta }}\left[\left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {1}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\cdot \left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {x_{i}y_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)-\left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {x_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\cdot \left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {y_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\right]\end{array}}\right.$

in cui si è posto

$\Delta \;=\;\left(\sum \nolimits _{i}{\frac {1}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\cdot \left(\sum \nolimits _{i}{\frac {{x_{i}}^{2}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)-\left(\sum \nolimits _{i}{\frac {x_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)^{2}$.

Le varianze di $a$ e di $b$ saranno poi date dalle

$\left\{{\begin{array}{ccl}{\sigma _{a}}^{2}&=&{\dfrac {1}{\Delta }}\,\sum \nolimits _{i}{\dfrac {{x_{i}}^{2}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\\{\sigma _{b}}^{2}&=&{\dfrac {1}{\Delta }}\,\sum \nolimits _{i}{\dfrac {1}{{\sigma _{i}}^{2}}}\end{array}}\right.$

Si deve tuttavia osservare che per applicare questo metodo è necessario conoscere, per altra via e preventivamente, tutte le $N$ varianze ${\sigma _{i}}^{2}$. Ciò può essere molto laborioso o addirittura impossibile, e non risulta conveniente rinunciare ad una stima unica e ragionevole ${\sigma _{y}}^{2}$ di queste varianze per tener conto di una variazione, generalmente debole, delle $\sigma _{i}$ in un intervallo limitato di valori della $x$.

Volendo tener conto dell’errore su entrambe le variabili $x$ ed $y$, non è generalmente possibile usare un metodo, descritto in alcuni testi, consistente nel cercare la retta che rende minima la somma dei quadrati delle distanze