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11.4 - Interpolazione dei dati con una curva

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11.4.1 Interpolazione lineare per due variabili

Cominciamo col supporre che le variabili oggetto della misura siano due sole, e che la legge che le mette in relazione reciproca sia di tipo lineare:

$y=a+bx$ .

Supponiamo poi che siano state effettuate misure del valore della x e di quello corrispondente assunto dalla y in diverse condizioni, così che si disponga in definitiva di N coppie di valori tra loro corrispondenti $(x_{i},y_{i})$ ; abbiamo già detto che, una volta riportati sul piano cartesiano $\{x,y\}$ punti con queste coordinate, essi si dovranno disporre approssimativamente lungo una linea retta.

Ora, si può dimostrare che vale, sul piano, qualcosa di analogo a quanto abbiamo già asserito riguardo alla media aritmetica di misure ripetute di una stessa grandezza fisica (cioè, geometricamente, su di una retta, visto che quelle determinazioni potevano essere univocamente rappresentate da punti su di una retta orientata); infatti

Sulla base delle misure effettuate, non si può escludere con certezza che alcuna delle infinite rette del piano corrisponda a quella vera su cui le nostre osservazioni si disporrebbero in assenza di errori; tuttavia esse non appaiono tutte quante ugualmente verosimili, e la verosimiglianza sarà in qualche modo in relazione con la distanza complessiva tra i nostri punti sperimentali e la retta stessa.

Nel caso particolare che siano verificate le seguenti ipotesi:
1. una sola delle variabili coinvolte (ad esempio la y) è affetta da errori;
2. gli errori quadratici medi delle misure dei diversi valori di y sono tutti uguali (o comunque non molto differenti);
3. questi errori seguono la legge normale di distribuzione;
4. le N determinazioni effettuate sono tra loro statisticamente indipendenti;

dimostreremo ora che per “distanza complessiva” si deve intendere la somma dei quadrati delle lunghezze dei segmenti ai retta parallela all’asse y compresi tra i punti misurati e la retta esaminata.

Infatti, detto $\sigma _{y}$ l’errore quadratico medio delle $y_{i}$ , la funzione di verosimiglianza è

${\mathcal {L}}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},\ldots ,x_{N},y_{N};a,b)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sigma _{y}{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {a+bx_{i}-y_{i}}{\sigma _{y}}}\right)^{2}}$ .