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11.2 - La stima di massima verosimiglianza

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nostro parametro, nell’ipotesi di avere già ottenuto la particolare N-pla di valori sperimentali $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}$.

Il metodo della massima verosimiglianza consiste nell’adottare, come stima del parametro $\theta$, quel valore ${\widehat {\theta }}$ che rende massima la funzione di verosimiglianza (11.1); ovvero la soluzione delle

${\frac {\mathrm {d} {\mathcal {L}}}{\mathrm {d} \theta }}=0$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}{\mathcal {L}}}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}<0$

(11.2)

(nel caso che le (11.2) abbiano più di una soluzione, si sceglie quella che corrisponde al massimo assoluto).

Visto che il logaritmo naturale è (essendo la base, $e$, maggiore di uno) una funzione monotona strettamente crescente dell’argomento, trovare il massimo di $\ln {\mathcal {L}}$ condurrebbe ancora a tutti e soli i valori che rendono massima ${\mathcal {L}}$; questo corrisponde al sostituire (essendo ${\mathcal {L}}>0$), alla prima delle (11.2), l’equivalente

${\frac {1}{\mathcal {L}}}\,{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {L}}}{\mathrm {d} \theta }}\;=\;{\frac {\mathrm {d} \,(\ln {\mathcal {L}})}{\mathrm {d} \theta }}\;=\;0$.

Enunciamo qui, senza dimostrarle, alcune proprietà fondamentali della stima di massima verosimiglianza:

1. La stima di massima verosimiglianza è una stima asintoticamente consistente al crescere della dimensione del campione.
2. La stima di massima verosimiglianza ha una densità di probabilità asintoticamente normale al crescere della dimensione del campione.
3. La stima di massima verosimiglianza è asintoticamente, al crescere della dimensione del campione, anche la stima più efficiente possibile (ossia quella di minima varianza).
4. Se esiste una stima sufficiente di $\theta$, essa può sempre essere espressa come funzione della sola stima di massima verosimiglianza ${\widehat {\theta }}$.

Le ipotesi sotto le quali si riesce a dimostrare che la stima di massima verosimiglianza gode asintoticamente delle proprietà su dette sono estremamente generali: per la normalità basta che esistano i primi due momenti della $f(x;\theta )$; per la consistenza e la massima efficienza basta che $f(x;\theta )$ sia continua, dotata di derivata prima e seconda rispetto al parametro, e che l’operazione di integrazione rispetto a $x$ commuti con quella di derivazione rispetto a $\theta$ (ovvero, in pratica, che il dominio di definizione della $x$ non dipenda dal parametro).

Il teorema di Cramér-Rao (cui si è prima accennato) permette di dimostrare, sotto ipotesi del tutto generali, che esiste un estremo inferiore per le