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170 Capitolo 11 - Stime di parametri

di ognuna di tali stime, M diversi valori per . Se ora indichiamo con f la densità di probabilità congiunta di questi M valori, risulterà in generale

dove con abbiamo, al solito, indicato la funzione densità di probabilità marginale della sola (ovvero la densità di probabilità collegata al presentarsi di un certo valore per indipendentemente da quello ottenuto per le altre stime); mentre è la densità di probabilità di queste ulteriori stime condizionata dal valore della prima.

Nel caso che risulti indipendente da , la conseguenza che da questo fatto si deduce è che, una volta calcolata altre stime sarebbero distribuite comunque nello stesso modo per qualunque valore di ; esse non potrebbero quindi aggiungere nulla alla conoscenza già ottenuta sul valore del parametro : ovverosia sfrutta tutta l’informazione sul parametro ignoto che è contenuta nei dati, ed in questo caso la stima si dice sufficiente. Non è detto che una stima sufficiente per un certo parametro esista; ma se ne esiste una, , allora ne esistono infinite: si può dimostrare infatti che ogni funzione monotona in senso stretto di gode della stessa proprietà.

11.2 La stima di massima verosimiglianza

Dato un campione di N determinazioni indipendenti , l’espressione

rappresenta la densità di probabilità da associare all’evento casuale consistente nell’ottenere una determinata N-pla di valori, essendo il valore del parametro da cui la f dipende.

Se in questa espressione si sostituisce al valore vero (che avevamo supposto noto) il generico valore ; e se le non vengono considerate più variabili casuali, ma costanti che sono state determinate dalle nostre operazioni di misura, la funzione

(11.1)

(funzione di verosimiglianza) rappresenta la densità di probabilità da associare all’evento casuale consistente nell’essere un certo il valore vero del