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Capitolo 11 - Stime di parametri

di ognuna di tali stime, M diversi valori per $\theta$. Se ora indichiamo con f la densità di probabilità congiunta di questi M valori, risulterà in generale

$f(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{M};\theta ^{*})=f^{M}(\theta _{1};\theta ^{*})\cdot \varphi (\theta _{2},\theta _{3},\ldots ,\theta _{M};\theta ^{*}|\theta _{1})$

dove con $f^{M}(\theta _{1};\theta ^{*})$ abbiamo, al solito, indicato la funzione densità di probabilità marginale della sola $\theta _{1}$ (ovvero la densità di probabilità collegata al presentarsi di un certo valore per $\theta _{1}$ indipendentemente da quello ottenuto per le altre stime); mentre $\varphi (\theta _{2},\theta _{3}\ldots ,\theta _{M};\theta ^{*}|\theta _{1})$ è la densità di probabilità di queste ulteriori $M-1$ stime condizionata dal valore della prima.

Nel caso che $\varphi$ risulti indipendente da $\theta ^{*}$, la conseguenza che da questo fatto si deduce è che, una volta calcolata $\theta _{1}$ altre stime sarebbero distribuite comunque nello stesso modo per qualunque valore di $\theta ^{*}$; esse non potrebbero quindi aggiungere nulla alla conoscenza già ottenuta sul valore del parametro $\theta$: ovverosia $\theta _{1}$ sfrutta tutta l’informazione sul parametro ignoto che è contenuta nei dati, ed in questo caso la stima $\theta _{1}$ si dice sufficiente. Non è detto che una stima sufficiente per un certo parametro $\theta$ esista; ma se ne esiste una, ${\bar {\theta }}$, allora ne esistono infinite: si può dimostrare infatti che ogni funzione monotona in senso stretto di ${\bar {\theta }}$ gode della stessa proprietà.

11.2 La stima di massima verosimiglianza

Dato un campione di N determinazioni indipendenti $x_{i}$, l’espressione

$\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};\theta ^{*})$

rappresenta la densità di probabilità da associare all’evento casuale consistente nell’ottenere una determinata N-pla di valori, essendo $\theta ^{*}$ il valore del parametro da cui la f dipende.

Se in questa espressione si sostituisce al valore vero (che avevamo supposto noto) $\theta ^{*}$ il generico valore $\theta$; e se le $x_{i}$ non vengono considerate più variabili casuali, ma costanti che sono state determinate dalle nostre operazioni di misura, la funzione

${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N};\theta )=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};\theta )$

(11.1)

(funzione di verosimiglianza) rappresenta la densità di probabilità da associare all’evento casuale consistente nell’essere un certo $\theta$ il valore vero del