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Capitolo 9 - La legge di Gauss

Queste funzioni si possono invertire, e risulta

$x=e^{-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}\right)}$

e

$y={\frac {1}{2\pi }}\,\arctan \left({\frac {v}{u}}\right)$

con derivate parziali prime date da

${\begin{cases}\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}=-\,u\cdot e^{-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}\right)}\\\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial v}}=-\,v\cdot e^{-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}\right)}\end{cases}}$

e da

${\begin{cases}\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial u}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{1+{\frac {v^{2}}{u^{2}}}}}\left(-\,{\frac {v}{u^{2}}}\right)\\\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial v}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{1+{\frac {v^{2}}{u^{2}}}}}\;{\frac {1}{u}}\end{cases}}$

Il determinante Jacobiano delle $(x,y)$ rispetto alle $(u,v)$ vale

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}$	$={\frac {\partial x}{\partial u}}\,{\frac {\partial y}{\partial v}}-{\frac {\partial x}{\partial v}}\,{\frac {\partial y}{\partial u}}$
	$=-{\frac {1}{2\pi }}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}\right)}$

per cui, essendo la densità di probabilità congiunta delle due variabili casuali x ed y data dalla

$f(x,y)=1$

e applicando la (7.9), la densità di probabilità congiunta della u e della v è data da

$f(u,v)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}v^{2}}$

e quindi, in conseguenza della (7.8), la u e la v sono due variabili casuali statisticamente indipendenti tra loro ed entrambe aventi funzione di frequenza data dalla distribuzione normale standardizzata; questo è appunto il metodo cosiddetto “di Box-Muller” per la generazione di numeri pseudo-casuali con distribuzione normale, a partire da numeri pseudo-casuali con distribuzione uniforme.

Una variante che consente di sveltire questo metodo (lento, perché l’esecuzione delle funzioni logaritmo, seno e coseno consuma molto tempo