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Capitolo 7 - Variabili casuali pluridimensionali

Esaminando la (7.7) si può facilmente capire come, perché questo avvenga, occorra e basti che la densità di probabilità complessiva sia fattorizzabile nel prodotto di due termini: il primo dei quali sia funzione solo delle prime M variabili ed il secondo dei quali dipenda soltanto dalle altre $N-M$; ovviamente ognuno dei fattori coincide con le probabilità marginali, per cui la condizione e espressa matematicamente dalla formula

$f(x_{1},\ldots ,x_{N})=f^{M}(x_{1},\ldots ,x_{M})\cdot f^{M}(x_{M+1},\ldots ,x_{N})$

e, in particolare, le variabili sono tutte indipendenti tra loro se e solo se risulta

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})=f^{M}(x_{1})\cdot f^{M}(x_{2})\cdots f^{M}(x_{N})$.

(7.8)

Nel caso che esista un differente insieme di N variabili $y_{i}$, in grado di descrivere lo stesso fenomeno casuale E, il requisito che la probabilità di realizzarsi di un qualunque sottoinsieme dei possibili risultati (l’integrale definito, su una qualunque regione $\Omega$ dello spazio ad N dimensioni, della funzione densità di probabilità) sia invariante per il cambiamento delle variabili di integrazione, porta infine a ricavare la formula di trasformazione delle densità di probabilità per il cambiamento di variabili casuali nel caso multidimensionale:

$f(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{N})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\cdot \left|{\frac {\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})}{\partial (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{N})}}\right|$

(7.9)

dove con il simbolo

$\left|{\frac {\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})}{\partial (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{N})}}\right|$

si è indicato il valore assoluto del determinante Jacobiano delle x rispetto alle y:

${\frac {\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})}{\partial (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{N})}}=\det \left\|{\begin{matrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{N}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{N}}}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\frac {\partial x_{N}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial x_{N}}{\partial y_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{N}}{\partial y_{N}}}\\\end{matrix}}\right\|$