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9.8 - Il teorema del limite centrale

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9.8.1 Applicazione: numeri casuali normali

Siano gli $u_{i}$ (con $i=1,\ldots ,N$) dei numeri provenienti da una popolazione u distribuita uniformemente nell’intervallo $[0,1]$; abbiamo visto nel paragrafo (8.1) che $\textstyle E(u)={\frac {1}{2}}$ e $\textstyle {\text{Var}}(u)={\frac {1}{12}}$. La loro media aritmetica ${\bar {u}}$, in conseguenza del teorema del limite centrale, tende asintoticamente (al crescere di N) alla distribuzione normale con media $\textstyle {\frac {1}{2}}$ e varianza $\textstyle {\frac {1}{12\cdot N}}$; quindi la loro somma $N{\bar {u}}$ è asintoticamente normale con media $\textstyle {\frac {N}{2}}$ e varianza $\textstyle {\frac {N}{12}}$; e, infine, la variabile casuale

$x={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}u_{i}-{\dfrac {N}{2}}}{\sqrt {\dfrac {N}{12}}}}$

(9.10)

è asintoticamente normale con media 0 e varianza 1.

Di questa proprietà si può far uso per ottenere da un computer dei numeri pseudo-casuali con distribuzione (approssimativamente) normale, a partire da altri numeri pseudo-casuali con distribuzione uniforme; in pratica l’approssimazione è già buona quando $N\gtrsim 10$, e scegliendo $N=12$ possiamo, ad esempio, porre semplicemente

$x=\sum _{i=1}^{12}u_{i}-6$.

È da notare, comunque, che non è buona pratica servirsi di questo metodo: anche se la parte centrale della distribuzione normale è approssimata abbastanza bene, le code mancano totalmente (essendo impossibile che risulti $|x|>{\sqrt {3N}}$); l’effetto di questa mancanza, quando (come nelle analisi fisiche basate su metodi di Montecarlo) vengano richiesti numeri pseudo casuali per generare eventi simulati in quantità dell’ordine di milioni almeno, è tale da invalidare completamente i risultati.

Soprattutto, poi, generare numeri pseudo-casuali normali usando il teorema del limite centrale non è solo sbagliato, ma inutile: esistono altri metodi (come ad esempio quello di Box-Muller che discuteremo ora) che sono in grado di generare numeri pseudo-casuali con una vera distribuzione normale usando, per il calcolo, un tempo non molto superiore a quello richiesto dalla (9.10).

Siano x ed y due variabili casuali statisticamente indipendenti, ed aventi distribuzione uniforme nell’intervallo $[0,1]$; consideriamo le altre due variabili casuali u e v definite attraverso le

$u={\sqrt {-2\ln x}}\cdot \cos(2\pi y)$

e

$v={\sqrt {-2\ln x}}\cdot \sin(2\pi y)$.

(9.11)