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9.8 - Il teorema del limite centrale 157

9.8.1 Applicazione: numeri casuali normali

Siano gli (con ) dei numeri provenienti da una popolazione u distribuita uniformemente nell’intervallo ; abbiamo visto nel paragrafo (8.1) che e . La loro media aritmetica , in conseguenza del teorema del limite centrale, tende asintoticamente (al crescere di N) alla distribuzione normale con media e varianza ; quindi la loro somma è asintoticamente normale con media e varianza ; e, infine, la variabile casuale

(9.10)

è asintoticamente normale con media 0 e varianza 1.

Di questa proprietà si può far uso per ottenere da un computer dei numeri pseudo-casuali con distribuzione (approssimativamente) normale, a partire da altri numeri pseudo-casuali con distribuzione uniforme; in pratica l’approssimazione è già buona quando , e scegliendo possiamo, ad esempio, porre semplicemente

.

È da notare, comunque, che non è buona pratica servirsi di questo metodo: anche se la parte centrale della distribuzione normale è approssimata abbastanza bene, le code mancano totalmente (essendo impossibile che risulti ); l’effetto di questa mancanza, quando (come nelle analisi fisiche basate su metodi di Montecarlo) vengano richiesti numeri pseudo casuali per generare eventi simulati in quantità dell’ordine di milioni almeno, è tale da invalidare completamente i risultati.

Soprattutto, poi, generare numeri pseudo-casuali normali usando il teorema del limite centrale non è solo sbagliato, ma inutile: esistono altri metodi (come ad esempio quello di Box-Muller che discuteremo ora) che sono in grado di generare numeri pseudo-casuali con una vera distribuzione normale usando, per il calcolo, un tempo non molto superiore a quello richiesto dalla (9.10).

Siano x ed y due variabili casuali statisticamente indipendenti, ed aventi distribuzione uniforme nell’intervallo ; consideriamo le altre due variabili casuali u e v definite attraverso le

e . (9.11)