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8.5 - La distribuzione di Poisson

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e, volendo, da essa si può ricavare la funzione caratteristica — che vale

$\phi _{\delta }(t)={\frac {\lambda }{\lambda -it}}$.

I momenti successivi della distribuzione esponenziale si possono ottenere o integrando direttamente la funzione densità di probabilità (moltiplicata per potenze opportune di $\delta$) o derivando successivamente la funzione caratteristica; troviamo i primi due momenti, speranza matematica e varianza, usando questo secondo metodo:

${\frac {\mathrm {d} \,\phi _{\delta }(t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)={\frac {i\lambda }{(\lambda -it)^{2}}}$

$\left.{\frac {\mathrm {d} \,\phi _{\delta }(t)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}={\frac {i}{\lambda }}\equiv i\cdot E(\delta )$

per cui la speranza matematica di $\delta$ vale

$E(\delta )={\frac {1}{\lambda }}$;

poi

${\frac {\mathrm {d} ^{2}\,\phi _{\delta }(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {-i\lambda \cdot 2(\lambda -it)(-i)}{(\lambda -it)^{4}}}=-{\frac {2\lambda }{(\lambda -it)^{3}}}$

$\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}\,\phi _{\delta }(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}=-{\frac {2}{\lambda ^{2}}}\;\equiv \;i^{2}\,E{\bigl (}\delta ^{2}{\bigr )}=-E{\bigl (}\delta ^{2}{\bigr )}$,

ed infine la varianza è

${\text{Var}}(\delta )=E{\bigl (}\delta ^{2}{\bigr )}-{\bigl [}E(\delta ){\bigr ]}^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$.

Se una variabile casuale t rappresenta il tempo trascorso tra due eventi casuali successivi che seguono una distribuzione di Poisson, t necessariamente ha una distribuzione di probabilità di tipo esponenziale data dalla (8.19); vogliamo ora calcolare la probabilità che t sia maggiore di una quantità $t_{0}+\Delta t$, condizionata però dal sapere in anticipo che t è sicuramente