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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

visto che la speranza matematica degli ultimi due termini è nulla,

$E(R)$	$\simeq {\frac {E(F)-E(B)}{E(F)+E(B)}}$
	$={\frac {2F}{N}}-1$;
${\text{Var}}(R)$	$\simeq \left({\frac {\partial R}{\partial F}}\right)^{2}{\text{Var}}(F)+\left({\frac {\partial R}{\partial B}}\right)^{2}{\text{Var}}(B)$
	$={\frac {4}{(F+B)^{4}}}\left[B^{2}{\text{Var}}(F)+F^{2}{\text{Var}}(B)\right]$
	$={\frac {4FB}{(F+B)^{3}}}$
	$=4\,{\frac {FB}{N^{3}}}$,

e le cose, di fatto, non cambiano (almeno nel limite dei grandi N) rispetto alla precedente analisi del paragrafo 8.4.2.

8.5.3 La distribuzione esponenziale

Alla distribuzione di Poisson ne è strettamente legata un’altra, quella esponenziale: sia infatti un fenomeno casuale qualsiasi che segua la distribuzione di Poisson, ovvero tale che la probabilità di osservare x eventi nell’intervallo finito di tempo t sia data dalla 8.13; definiamo una nuova variabile casuale, $\delta$, come l’intervallo di tempo che intercorre tra due eventi successivi.

Visto che in un tempo $\delta$ nessun evento deve venire osservato, la probabilità che $\delta$ risulti maggiore di un valore predeterminato d coincide con la probabilità di osservare zero eventi nel tempo d:

$\Pr(\delta >d)\equiv \Pr(0;d)=e^{-\lambda d}$

e quindi la funzione di distribuzione di $\delta$ è la

$F(d)=\Pr(\delta \leq d)=1-e^{-\lambda d}$

Come conseguenza, la funzione di frequenza è esponenziale:

$f(\delta )={\frac {\mathrm {d} \,F(\delta )}{\mathrm {d} \delta }}=\lambda \,e^{-\lambda \delta }$;

(8.19)