Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/134

118 Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche


In questa espressione x è l’unica variabile casuale, e t funge da parametro: se introduciamo la nuova grandezza , possiamo scrivere

. (8.14)

Questa distribuzione di probabilità per una variabile casuale (discreta) x prende il nome di distribuzione di Poisson1; da essa si può ottenere, ad esempio, la probabilità di ottenere x decadimenti in una massa nota di sostanza radioattiva nel tempo t: infatti per questo tipo di processi fisici risultano soddisfatte le tre ipotesi di partenza.

Più esattamente, la probabilità di avere precisamente x decadimenti radioattivi nel tempo t è data dalla distribuzione binomiale; la distribuzione di Poisson è una approssimazione alla distribuzione binomiale che si può ritenere valida qualora si considerino eventi casuali di probabilità estremamente piccola, e che ci è possibile vedere solo perché si compiono osservazioni su un numero molto elevato di essi: in formula, quando

e (8.15)

(eventi rari su larga base statistica).

Anche se la distribuzione di Poisson è, come nel caso dei decadimenti radioattivi, una approssimazione di quella binomiale, si preferisce però sempre usarla nella pratica al posto di quest’ultima quando le (8.15) siano approssimativamente verificate: infatti se N è grande i fattoriali e le potenze presenti nella (8.7) rendono generalmente l’espressione difficile da calcolare. Verifichiamo ora la condizione di normalizzazione:

(riconoscendo nella sommatoria l’espressione di uno sviluppo in serie di McLaurin della funzione esponenziale). Calcoliamo poi la speranza mate-



  1. Siméon Denis Poisson visse in Francia dal 1781 al 1840; matematico e fisico di valore, si occupò della teoria degli integrali e delle serie, di meccanica, elettricità, magnetismo ed astronomia. Gli studi sulla distribuzione che porta il suo nome compaiono nel trattato del 1837 “Recherches sur la probabilitè des jugements...”.