8.4 - La distribuzione di Bernoulli 111
quando N tende all’infinito la distribuzione di probabilità dei possibili valori tende ad una distribuzione normale avente la stessa media Np e la stessa varianza Npq . Infatti la funzione generatrice dei momenti della distribuzione di Bernoulli è
M
x
(
t
)
{\displaystyle M_{x}(t)}
=
E
(
e
t
x
)
{\displaystyle =E\left(e^{tx}\right)}
=
∑
x
=
0
N
e
t
x
(
N
x
)
p
x
q
N
−
x
{\displaystyle =\sum _{x=0}^{N}e^{tx}\,{\binom {N}{x}}\,p^{x}q^{N-x}}
=
∑
x
=
0
N
(
N
x
)
(
p
e
t
)
x
q
N
−
x
{\displaystyle =\sum _{x=0}^{N}{\binom {N}{x}}\!\left(pe^{t}\right)^{x}\!q^{N-x}}
=
(
p
e
t
+
q
)
N
{\displaystyle =\left(pe^{t}+q\right)^{N}}
o anche, ricordando che
q
=
1
−
p
{\displaystyle q=1-p}
M
x
(
t
)
=
[
1
+
p
(
e
t
−
1
)
]
N
{\displaystyle M_{x}(t)=\left[1+p\left(e^{t}-1\right)\right]^{N}}
e se, per semplificare i calcoli, ci riferiamo alla variabile standardizzata
z
=
x
−
E
(
x
)
σ
x
=
x
−
N
p
N
p
q
=
a
x
+
b
{\displaystyle z={\frac {x-E(x)}{\sigma _{x}}}={\frac {x-Np}{\sqrt {Npq}}}=ax+b}
ove si è posto
a
=
1
N
p
q
{\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {Npq}}}}
e
b
=
−
N
p
N
p
q
{\displaystyle b=-{\frac {Np}{\sqrt {Npq}}}}
applicando la (6.16) si trova
M
z
(
t
)
{\displaystyle M_{z}(t)}
=
e
t
b
M
x
(
a
t
)
{\displaystyle =e^{tb}\,M_{x}(at)}
=
e
−
N
p
N
p
q
t
[
1
+
p
(
e
t
N
p
q
−
1
)
]
N
{\displaystyle =e^{-{\frac {Np}{\sqrt {Npq}}}t}\left[1+p\left(e^{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}-1\right)\right]^{N}}
da cui, passando ai logaritmi naturali,
![{\displaystyle M_{x}(t)=\left[1+p\left(e^{t}-1\right)\right]^{N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59a3a15fac4dc5cdda539b553e154999eb1fb6e)
![{\displaystyle =e^{-{\frac {Np}{\sqrt {Npq}}}t}\left[1+p\left(e^{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}-1\right)\right]^{N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087eb2a115cf500d9f0e61b24701396742bccdc4)
