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Capitolo 7 - Variabili casuali pluridimensionali

per cui

$\varphi (u,v)=f(uv)\,g(v)\,|v|.$

In conclusione, la funzione di distribuzione della sola u (la funzione marginale) è la

$\varphi (u)=\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (u,v)\,\mathrm {d} v=\int _{-\infty }^{+\infty }f(uv)\,g(v)\,|v|\,\mathrm {d} v$

(7.4)

7.1.4 Applicazione: il decadimento debole della $\Lambda ^{0}$

La particella elementare $\Lambda ^{0}$ decade, attraverso processi governati dalle interazioni deboli, nei due canali

$\Lambda ^{0}\to p+\pi ^{-}$

e

$\Lambda ^{0}\to n+\pi ^{0}$;

il suo decadimento è quindi un evento casuale che può essere descritto dalle due variabili c (carica del nucleone nello stato finale, 1 o 0 rispettivamente) e t (tempo di vita della $\Lambda ^{0}$).

La teoria (confermata dagli esperimenti) richiede che la legge di decadimento sia la stessa per entrambi gli stati finali, ovvero esponenziale con la stessa vita media $\tau$; e che il cosiddetto branching ratio, cioè il rapporto delle probabilità di decadimento nei due canali citati, sia indipendente dal tempo di vita e valga

${\frac {\Pr(\Lambda ^{0}\to p+\pi ^{-})}{\Pr(\Lambda ^{0}\to n+\pi ^{0})}}=2$.

In altre parole, le probabilità marginali e condizionate per le due variabili (una discreta, l’altra continua) devono essere: per la c

$g(1)=g(1|t)={\frac {2}{3}}$

e

$g(0)=g(0|t)={\frac {1}{3}}$

o, in maniera compatta,

$g(c)=g(c|t)={\frac {c+1}{3}}$;

per il tempo di vita t,

$h(t)=h(t|0)=h(t|1)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}$.

La probabilità congiunta delle due variabili casuali è, infine,

$f(c,t)=g(c)\cdot h(t)={\frac {c+1}{3\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}$.