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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

Allo stesso modo si troverebbe

$E(x_{1})=a+{\frac {1}{N+1}}(b-a)$;

e, per il generico $x_{i}$,

$E(x_{i})=a+{\frac {i}{N+1}}\,(b-a)$.

Dopo gli opportuni calcoli, si potrebbero ricavare anche le varianze rispettive: che valgono

${\text{Var}}(x_{1})={\text{Var}}(x_{N})={\frac {N}{(N+1)^{2}(N+2)}}(b-a)^{2}$

e

${\text{Var}}(x_{i})={\frac {i\cdot (N-i+1)}{(N+1)^{2}(N+2)}}(b-a)^{2}$.

È immediato calcolare la speranza matematica della semisomma del più piccolo e del più grande valore presenti nel campione

$d={\frac {x_{1}+x_{N}}{2}}$

che vale

$E(d)={\frac {E(x_{1})+E(x_{N})}{2}}={\frac {a+b}{2}}$;

come pure quella del cosiddetto range,

$R=x_{N}-x_{1}$

per il quale

$E(R)=E(x_{N})-E(x_{1})=(b-a)\left(1-{\frac {2}{N+1}}\right)$.

Per il calcolo delle varianze, invece, si deve ricorrere alla distribuzione congiunta (7.6), dalla quale si può ricavare

${\text{Var}}(d)={\frac {(b-a)^{2}}{2(N+1)(N+2)}}$

e

${\text{Var}}(R)={\frac {2(N-1)}{(N+1)^{2}(N+2)}}\,(b-a)^{2}$.