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7.2 - Cenni sulle variabili casuali in più di due dimensioni

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Usando la legge della probabilità totale e la definizione dell’operazione di integrazione, è poi immediato riconoscere che la probabilità dell’evento casuale consistente nell’essere ognuna delle $x_{i}$ compresa in un determinato intervallo finito $\left[a_{i},b_{i}\right]$ è data da

$P=\int _{a_{1}}^{b_{1}}\mathrm {d} x_{1}\int _{a_{2}}^{b_{2}}\mathrm {d} x_{2}\cdots \int _{a_{N}}^{b_{N}}\mathrm {d} x_{N}\cdot f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})$.

Similmente, poi, se consideriamo il sottoinsieme delle prime M variabili $x_{i}$ (con $M<N$), la probabilità che ognuna di esse cada all’interno di intervallini infinitesimi attorno ad una M-pla di valori prefissati, indipendentemente dal valore assunto dalle altre $N-M$ variabili, è data da

$\mathrm {d} P$	$\equiv f^{M}(x_{1},\ldots ,x_{M})\,\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{M}$
	$=\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{M}\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x_{M+1}\,\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x_{M+2}\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x_{N}\cdot f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})$

dove gli integrali definiti sulle $N-M$ variabili che non interessano si intendono estesi a tutto l’asse reale; potendosi senza perdere in generalità assumere che tale sia il loro dominio di esistenza, definendo eventualmente la f come identicamente nulla al di fuori del reale intervallo di variabilità se esse fossero limitate.

La $f^{M}$ definita dalla equazione precedente prende il nome di densità di probabilità marginale delle M variabili casuali $x_{1},\ldots ,x_{M}$; infine la condizione di normalizzazione si scriverà

$\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x_{1}\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x_{2}\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x_{N}\cdot f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})=1$.

Definendo, analogamente a quanto fatto nel paragrafo 7.1, la densità di probabilità delle M variabili casuali $x_{j}$ (con $j=1,2,\ldots ,M$ e $M<N$) condizionata dai valori assunti dalle restanti $N-M$ variabili attraverso la

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M}|x_{M+1},x_{M+2},\ldots ,x_{N})={\frac {f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})}{f^{M}(x_{M+1},x_{M+2},\ldots ,x_{N})}}$

(7.7)

il concetto di indipendenza statistica può facilmente essere generalizzato a sottogruppi di variabili: diremo che le M variabili $x_{j}$ sono statisticamente indipendenti dalle restanti $N-M$ quando la probabilità che le $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M}$ assumano determinati valori non dipende dai valori assunti dalle $x_{M+1},x_{M+2},\ldots ,x_{N}$ — e dunque quando la densità condizionata (7.7) è identicamente uguale alla densità marginale $f^{M}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})$.