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Capitolo 7 - Variabili casuali pluridimensionali

e si tratta di una grandezza adimensionale compresa, come vedremo, nell’intervallo $[-1,+1]$. Anche del coefficiente di correlazione lineare ci occuperemo più avanti, e sempre nell’appandice C.

La funzione caratteristica per due variabili, che esiste sempre, è la

$\phi _{xy}(u,v)=E\left[e^{i(ux+vy)}\right];$

se poi esistono tutti i momenti, vale anche la

$\left.{\frac {\partial ^{m+n}\phi _{xy}}{\partial u^{m}\,\partial v^{n}}}\right|_{\begin{matrix}u=0\\[-1em]v=0\end{matrix}}=(i)^{m+n}\lambda _{mn}$.

La funzione generatrice, che esiste solo se tutti i momenti esistono, è poi definita come

$M_{xy}(u,v)=E\left[e^{(ux+vy)}\right]$

e per essa vale la

$\left.{\frac {\partial ^{m+n}M_{xy}}{\partial u^{m}\,\partial v^{n}}}\right|_{\begin{matrix}u=0\\[-1em]v=0\end{matrix}}=\lambda _{mn}$.

7.1.2 Cambiamento di variabile casuale

Supponiamo di definire due nuove variabili casuali u e v per descrivere un evento casuale collegato a due variabili continue x ed y; questo attraverso due funzioni

$u=u(x,y)$

e

$v=v(x,y)$.

Se la corrispondenza tra le due coppie di variabili è biunivoca, esistono le funzioni inverse

$x=x(u,v)$

e

$y=y(u,v);$

se inoltre esistono anche le derivate parziali prime della x e della y rispetto alla u ed alla v, esiste anche non nullo il determinante Jacobiano

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}=\det \left\|{\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}\end{matrix}}\right\|$