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sulle trasformazioni geometriche delle figure piane.

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È questa la così detta trasformatone conica considerata da Steiner¹, da Magnus² e da Schiaparelli³.

Per $n=3$, si ha dalle (1), (2):

$x_{1}=4$, $x_{2}=1$,

cioè alle rette di una figura corrisponderanno nell’altra curve di terz’ordine aventi tutte un punto doppio e quattro punti semplici comuni.

Per $n=4$, le (1), (2) divengono:

$x_{1}+4x_{2}+9x_{3}=15$, $x_{1}+3x_{2}+6x_{3}=12$,

le quali ammettono le due soluzioni:

1.a	$x_{1}=3$, $x_{2}=3$, $x_{3}=0$,
2.a	$x_{1}=6$, $x_{2}=0$, $x_{3}=1$.

E così di seguito.

Eliminando $x_{1}$ dalle equazioni (1) e (2) si ottiene quest’altra:

3)	$x_{2}+3x_{3}+\dots +{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}x_{n-1}={\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$,

dalla quale si scorge che $x_{n-1}$ non può avere che uno di questi due valori:

$x_{n-1}=1$, $x_{n-1}=0$,

e che nel caso di $x_{n-1}=1$, si ha necessariamente:

$x_{2}=0,\,x_{3}=0,\dots x_{n-2}=0$,

e in virtù della (1):

$x_{1}=2(n-1)$.

Io mi propongo di provare che la trasformazione corrispondente a questi valori di $x_{1},\,x_{2},\dots x_{n-1}$ è, per un dato valore qualsivoglia di $n$, geometricamente possibile.

Supposte situate le due figure in due piani distinti $P$, $P'$, affinchè a ciascun punto del primo piano corrisponda un unico punto del secondo, e reciprocamente a ciascun punto di questo corrisponda un sol punto di quello, imagino due linee direttrici tali che per un punto arbitrario dello spazio possa condursi una sola retta ad incontrarle

1. Systematische Entwickelung u. s. w., Berlin 1832, p. 251.
2. Giornale di Crelle, t. 8, p. 51.
3. Loco citato.