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3.° $y_{3}=\nu +1$, ove $\nu$ è uno de' numeri $2,3,4,5,6$. Le $\nu +1$ cubiche hanno in comune il punto doppio e $6-\nu$ punti ordinari, e passano rispettivamente per $\nu$ de' $\nu +1$ punti principali $b_{1},b_{2},\dots b_{\nu +1}$ egualmente molteplici e soli nel loro grado.

4.° $y_{3}=\nu$, ove $\nu$ è uno de' numeri $2,3,4,5,6,7$. Le $\nu$ cubiche hanno in comune $7-\nu$ punti, e fra $\nu$ punti principali egualmente molteplici e soli nel loro grado hanno il punto doppio nell'uno di essi e passano pei rimanenti.

È evidente che analoghe considerazioni si possono istituire per le curve principali d'ordine superiore, onde si concluderà che se la Jacobiana contiene $y_{r}$($y_{r}>1$) curve d'ordine $r$, uno de' numeri $x$ sarà eguale ad $y_{r}$.

Rimarrebbe a considerare il caso di $y_{r}=1$, e quello di $y_{r}=0$. Se non che, essendo la somma di tutte le $x$ eguale alla somma di tutte le $y$; ed anche la somma di tutte le $x$ maggiori dell'unità eguale alla somma di tutte le $y$ maggiori dell'unità, è evidente che il numero delle $x$ eguali a zero o all'unità sarà eguale al numero delle $y$ eguali del pari a zero od all'unità.

Concludiamo adunque che le $y$ sono eguali alle $x$ prese generalmente in ordine diverso. [76]

26. Supponiamo ora che i due piani $P,P'$ coincidano, ossia consideriamo due figure in uno stesso piano, le quali si corrispondano punto per punto, in modo che alle rette di una figura corrispondano nell'altra curve d'ordine $n$ di una rete (soggetta alle condizioni (1), (2)).

Le rette di un fascio in una figura e le corrispondenti curve nella seconda figura costituiscono due fasci projettivi, epperò il luogo delle intersezioni delle linee corrispondenti sarà una curva d'ordine $n+1$ passante $r$ volte per ogni punto principale di grado $r$ della seconda figura.

27. Quale è l'inviluppo delle rette che uniscono i punti di una retta $R$ nella prima figura ai punti omologhi nella seconda? La retta $R$ è una tangente $(n)$^pla per l'inviluppo di cui si tratta, a cagione degli $n$ punti di $R$ omologhi di quelli ove $R$ sega la sua corrispondente curva d'ordine $n$. Ogni altro punto di $R$ unito al suo omologo dà una tangente dell'inviluppo; dunque la classe di questo è $n+1$.

28. Quale è il luogo dei punti nella prima figura che uniti ai loro corrispondenti nella seconda danno rette passanti per un punto fisso $p$? Il luogo passa per $p$, perchè la retta che unisce $p$ al punto corrispondente $p'$ passa per $p$. Se poi si tira per $p$ una retta arbitraria, questa sega la curva che le corrisponde (nella seconda figura) in $n$ punti, risguardati i quali come appartenenti alla seconda figura, i punti omologhi della prima appartengono al luogo: e questo è per conseguenza una curva ${\mathfrak {P}}$ dell' ordine $n+1$.

Se $o_{r}$ è un punto principale di grado $r$ della prima figura, la retta $po_{r}$ contiene $r$ punti della seconda figura corrispondenti ad $o_{r}$: onde il luogo ${\mathfrak {P}}$ passerà $r$ volte per $o_{r}$.