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curve principali eguale all’ordine della Jacobiana della rete. Analogamente la Jacobiana della rete nel piano $P'$ è costituita dalle curve principali di questo piano: alla quale proprietà corrisponde l’equazione

8)	$\sum rx_{r}=3(n-1)$

che si deduce dalle (1), (2).

7. Sia $x$ il numero delle volte che la curva principale $C_{r}$ (nel piano $P$ ) corrispondente al punto principale $o_{r}'$ (nel piano $P'$ ) passa pel punto principale $o_{s}$ (nel piano $P$ ) al quale corrisponda (in $P'$ ) la curva principale $C_{s}'$ . Si conduca per $o_{s}$ una retta arbitraria $T$ che seghi $C_{r}$ in altri $r-x$ punti. Alla retta $T$ corrisponda una curva d’ordine $n$ composta di $C_{s}'$ e di un’altra curva $K_{n-s}'$ . La $C_{s}'$ corrisponde al solo punto $o_{s}$ , mentre $K_{n-s}'$ corrisponde agli altri punti di $T$ . Ma i punti di $C_{r}$ corrispondono al punto $o_{r}'$ ; dunque $K_{n-s}'$ passa $r-x$ volte per $o_{r}'$ , e conseguentemente $C_{s}'$ passerà $r-(r-x)$ volte per lo stesso punto $o_{r}'$ . Ossia la curva $C_{r}$ passa tante volte per $o_{s}$ quante $C_{s}'$ per $o_{r}'$ .

8. È noto che, se un punto è multiplo secondo $s$ per tutte le curve di una rete, esso sarà multiplo secondo $3s-1$ per la Jacobiana. Dunque il numero totale dei rami delle curve principali (in $P$ ) che passano per un punto principale di grado $s$ è $3s-1$ . Ne segue, in virtù del teorema (7), che una curva principale d’ordine $s$ passa con $3s-1$ rami pei punti principali del suo piano.¹

9. Una curva qualunque $C_{n}'$ della rete nel piano $P'$ ha $r$ rami incrociati nel punto principale $o_{r}'$ , i quali hanno le rispettive tangenti tutte distinte, se nel piano $P$ la retta $R$ che corrisponde a $C_{n}'$ incontra in $r$ punti distinti la curva principale $C_{r}$ corrispondente ad $o_{r}'$ . Ora siccome $C_{r}$ ha un numero di punti multipli equivalente ad ${\tfrac {(r-1)(r-2)}{2}}$ punti doppi, la classe di questa curva² sarà $2(r-1)$ ; dunque in un

↑ <Indicando con $x_{s}^{(r)}$ la molteplicità di un punto principale d'ordine $s$ del piano $P$ per una curva principale d'ordine $r$ dello stesso piano, siccome questa curva è di genere zero, si ha

$\sum \limits _{s=1}^{s=r-1}{\frac {1}{2}}x_{s}^{(r)}(x_{s}^{(r)}-1)={\frac {1}{2}}(r-1)(r-2)$ .

Inoltre si è dimostrato che

$\sum \limits _{s=1}^{s=r-1}{\frac {1}{2}}x_{s}^{(r)}=3r-1$ .

Di qui

$\sum \limits _{s=1}^{s=r-1}{\frac {1}{2}}x_{s}^{(r)}(x_{s}^{(r)}+1)={\frac {1}{2}}r(r+3)$ ,

ossia ogni curva principale è pienamente determinata dai punti principali.>
↑ Vedi anche Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane, 104 f. (Memorie dell’Accademia di Bologna, serie 1.^a tomo 12.°, 1862). [Queste Opere, n. 29 (t. 1.°)].

[1] <Indicando con $x_{s}^{(r)}$ la molteplicità di un punto principale d'ordine $s$ del piano $P$ per una curva principale d'ordine $r$ dello stesso piano, siccome questa curva è di genere zero, si ha

$\sum \limits _{s=1}^{s=r-1}{\frac {1}{2}}x_{s}^{(r)}(x_{s}^{(r)}-1)={\frac {1}{2}}(r-1)(r-2)$ .

Inoltre si è dimostrato che

$\sum \limits _{s=1}^{s=r-1}{\frac {1}{2}}x_{s}^{(r)}=3r-1$ .

Di qui

$\sum \limits _{s=1}^{s=r-1}{\frac {1}{2}}x_{s}^{(r)}(x_{s}^{(r)}+1)={\frac {1}{2}}r(r+3)$ ,

ossia ogni curva principale è pienamente determinata dai punti principali.>

[2] Vedi anche Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane, 104 f. (Memorie dell’Accademia di Bologna, serie 1.^a tomo 12.°, 1862). [Queste Opere, n. 29 (t. 1.°)].

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