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retta, così le altre sei intersezioni, cioè i punti di contatto delle sei tangenti, giaceranno in una conica (Introd. 39, a).

Se è un vertice di un trilatero sizigetico alla cubica data, per passano le polari armoniche dei tre flessi situati nel lato opposto (Introd. 142). Dunque le sei tangenti che si possono condurre da alla cubica sono accoppiate in involuzione in tre maniere diverse: a ciascuna di queste maniere corrispondono come raggi doppi la retta che congiunge ad uno de’ tre flessi e la relativa polare armonica.

Conducendo per un flesso situato in una trasversale qualunque, il coniugato armonico di rispetto alle intersezioni della trasversale con è situato nella polare armonica di (Introd. 139). Ne segue che le sono coniugate armoniche rispetto alla retta ed alla polare armonica di . Dunque i raggi doppi delle tre involuzioni formate dalle tangenti che si possono condurre per alla cubica data (ed alle altre cubiche sizigetiche) sono accoppiati pur essi in una nuova involuzione i cui elementi doppi sono i lati , del trilatero sizigetico. Ossia:

Tre flessi in linea retta e le intersezioni di questa retta colle polari armoniche dei flessi medesimi formano tre coppie di punti in involuzione.1

È noto (Introd. 132, c) che se due tangenti ad una data cubica concorrono in un punto della medesima curva, ciascuna di quelle tangenti è la retta polare del punto di contatto dell’altra rispetto ad una cubica di cui la data è la Hessiana. È noto inoltre (Introd. 148) che se una retta tocca una cubica in un punto e la sega in un altro, le rette polari del primo punto, rispetto alle cubiche sizigetiche colla data, passano tutte pel secondo punto. Ne segue che:

Le quattro tangenti che si possono condurre ad una cubica da un suo punto sono le rette polari di uno qualunque de’ punti di contatto rispetto alla cubica medesima ed a quelle altre tre cubiche delle quali la data è la Hessiana.2

Ora, il rapporto anarmonico delle rette polari di un punto rispetto a quattro curve date di un fascio è costante, qualunque sia quel punto: si ha dunque così una nuova dimostrazione del teorema di Salmon (Introd. 131), essere costante il rapporto anarmonico delle quattro tangenti che arrivano ad una cubica da un suo punto qualunque.

27. Nel piano di una data curva del terz’ordine si immaginino condotte trasversali che seghino la curva nelle terne di punti

.

  1. Questa proprietà si rende evidente anche osservando che il punto in cui la polare armonica di sega è coniugato armonico di rispetto agli altri due flessi situati nella medesima retta . Ne segue ancora (Introd. 26) che ciascuno de’ due punti combinato coi tre flessi situati nella retta forma un sistema equianarmonico.
  2. Educational Times, december 1864, p. 214 (London).