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teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

così:

(x₀ — x) M_x + (y₀ — y) M_y + (z₀ — z) M_z
+ X (yz₀ — zy₀) + Y (zx₀ — xz₀) + Z (xy₀ — yx₀) = 0;

ed inversamente, le coordinate del fuoco del piano:

px + qy + rz + s = 0

sono:

${\frac {q\mathrm {M} _{z}-r\mathrm {M} _{y}-s\mathrm {X} }{p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} }},$          ${\frac {r\mathrm {M} _{x}-p\mathrm {M} _{z}-s\mathrm {Y} }{p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} }},$          ${\frac {p\mathrm {M} _{y}-q\mathrm {M} _{x}-s\mathrm {Z} }{p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} }}.$

Ammesso che le X, Y, Z, M_x, M_y, M_z rappresentino le somme delle forze componenti e le somme dei momenti delle coppie componenti relative agli assi coordinate e dovute ad un sistema di forze di forma invariabile, il piano corrispondente ad un dato punto sara quello della coppia risultante relativa a quel punto, e viceversa il fuoco di un dato piano sara il punto a cui corrisponde la coppia risultante situata in quel piano. È poi noto che alle proprietà de’ sistemi di forze corrispondono analoghe proprietà del movimento di un corpo. Dunque tutte le proprietà geometriche de’ sistemi di forze o del moto di un corpo rigido si tradurranno in teoremi relativi alle cubiche gobbe.

3.º Passo ad altre proprietà, nel dimostrar le quali farò sempre uso delle coordinate di Plücker (Punkt-Coordinaten).

Considero il piano:

1)	A — σB + σ1C — σ2D = 0

ove:

σ = λ + μ + ν,          σ₁ = μν + νλ + λμ,          σ₂ = λμν;

il fuoco di questo piano è:

A : B : C : D = 3σ₂ : σ₁ : σ : 3.

Pongo:

A — (μ + ν) B + μνC = λ(μ — ν)²α
A — (ν + λ)B + νλC = μ (ν — λ)²β
A — (λ + μ) B + λμC = ν(λ — μ)²γ.¹⁸

Prese insieme all’equazione (1) le equazioni:

α = 0          β = 0          γ = 0

rappresentano i lati del triangolo inscritto nella cubica e posto nel piano (1); e le

β — γ = 0,          γ — α = 0,          α — β = 0