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6.

SECONDE SOLUTION DE LA QUESTION 368 (Cayley).⁷

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Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.^re série, tome XVI (1857), pp. 250.

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Toute conique qui touche les côtés du triangle ABC (p = 0, q = 0, r = 0) est représentée par l’équation (Salmon, Conic sections, 3.^e édition, p. 247)

l²p² + m²q² + n²r² — 2 mnqr — 2 nlrp — 2 lmpq = 0¹,

où l, m, n sent des indéterminées. Les points α, β, γ étant déterminés respectivement par les couples d’équations simultanées

p = 0,     q — r = 0;

q = 0,     r — p = 0;

r = 0,     p — q = 0;

la conique passera par les points α, β, γ, si l’on satisfait aux conditions

m² + n² — 2 mn = 0,

n² + l² — 2 nl = 0,

l² + m² — 2 lm = 0,

ou bien

l = m = n;

donc l’équation cherchée est

p² + q² + r² — 2 qr — 2 rp — 2 pq = 0.

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1. Ou bien $(lp)^{\frac {1}{2}}+(mq)^{\frac {1}{2}}+(nr)^{\frac {1}{2}}=0$.