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5.

SOLUTION ANALYTIQUE DE LA QUESTION 344 (Mannheim).⁷

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Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.^re série, tome XVI (1857), pp. 79-82.

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Soient x₁, y₁, et x₂, y₂, les coordonnées des points A, O, celles des points B, C seront de la forme

x₃ = x₁ + λh,     y₃ = y₁ + λk,

x₄ = x₁ + μm,     y₄ = y₁ + μn,

h, k, l, m sont des quantités données, λ, μ deux indéterminées; donc

2 ABO = ${\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}=\lambda {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\h&k\end{vmatrix}}$,

et analogiquement

2 AOC = ${\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{4}&y_{4}\\1&x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}=\mu {\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&y_{1}-y_{2}\\m&n\end{vmatrix}}$.

Il s’ensuit

${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {ABO} }}+{\frac {1}{\mathrm {AOC} }}\right)={\frac {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\\lambda h-\mu m&\lambda k-\mu n\end{vmatrix}}{\lambda \mu {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\h&k\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&y_{1}-y_{2}\\m&n\end{vmatrix}}}};$