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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

è anche l’Hessiana di ${\rm {C_{n}}}$ (90, a; 92), passa due volte per $d$ ed ivi ha le due tangenti comuni colla prima polare del punto stesso (96, d), cioè ha le tangenti comuni colla curva data (72). Dunque il punto $d$ equivale (32) a sei intersezioni dell’Hessiana con ${\rm {C_{n}}}$; ossia ogni punto doppio fa perdere a questa curva sei flessi.

Ora s’imagini che ${\rm {C_{n}}}$ abbia una cuspide $d$, e sia ${\rm {T}}$ la tangente cuspidale. In questo caso tutte le prime polari relative a ${\rm {C_{n}}}$ passano per $d$ ed ivi sono toccate dalla retta ${\rm {T}}$ (74, c); [inoltre la prima polare di $d$ ha ivi una cuspide, con ${\rm {T}}$ per tangente cuspidale (72)]⁸²; epperò l’Hessiana ha tre rami passanti per $d$, due de’ quali hanno per tangente ${\rm {T}}$ (97, d). Dunque il punto $d$ equivale ad otto intersezioni dell’Hessiana con ${\rm {C_{n}}}$, ossia ogni cuspide fa perdere a questa curva otto flessi¹.

Quindi, se ${\rm {C_{n}}}$ ha $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, il numero de’ flessi ossia delle tangenti stazionarie sarà dato dalla formola:

3)	$\iota =3n(n-2)-6\delta -8\chi$.

E pel principio di dualità, se una curva della classe $m$ ha $\tau$ tangenti doppie ed $\iota$ tangenti stazionarie, essa avrà

4)	$\chi =3m(m-2)-6\tau -8\iota$

punti stazionari.

Le quattro equazioni così trovate equivalgono però a tre sole indipendenti; infatti, sottraendo la 1) moltiplicata per 3 dalla 3), si ha la

5)	$\chi -\iota =3(n-m)$,

equazione che può essere dedotta nello stesso modo anche dalle 2), 4).

Così fra i sei numeri $n,\,m,\,\delta ,\,\chi ,\,\tau ,\,\iota$ si hanno tre equazioni indipendenti, onde, dati tre, si possono determinare gli altri tre. Per esempio, dati $n,\,\delta ,\,\chi$, il valore di $\tau$ si ottiene eliminando $m$ ed $\iota$ fra le 1), 2), 3); e si ha:

6)	$\tau ={\frac {1}{2}}n(n-2)(n^{2}-9)-(2\delta +3\chi )(n^{2}-n-6)$$+2\delta (\delta -1)+{\frac {9}{2}}\chi (\chi -1)+6\delta \chi$.

Una formola assai utile si ottiene sottraendo la 2) dalla 1), ed eliminando $\chi -\iota$ dal risultato mediante la 5):

7)	$2(\delta -\tau )=(n-m)(n+m-9)$.

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1. Cayley, Recherches sur l’élimination et sur la théorie des courbes (Giornale di Crelle, t. 34, Berlino 1847, p. 43).