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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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arbitrio passa una sola linea del sistema, vale a dire, quando le linee del sistema passanti per uno stesso punto arbitrario formano un fascio¹.

Per esempio, le prime polari relative ad una data curva d’ordine $n$ formano una rete geometrica d’ordine $n-1$ (77, a); anzi, molte proprietà di quelle si possono applicare, colle identiche dimostrazioni, ad una rete qualsivoglia.

Due fasci d’ordine $m$ i quali abbiano una curva comune, ovvero tre curve d’ordine $m$ le quali non passino per gli stessi $m^{2}$ punti, determinano una rete geometrica d’ordine $m$ (77, a).⁷⁶

Il luogo di un punto nel quale si tocchino due (epperò infinite) curve d’una data rete d’ordine $m$, è una linea dell’ordine $3(m-1)$. Questa linea, che può chiamarsi l’Hessiana⁷⁷ della rete, è anche il luogo de’ punti doppi delle curve della rete (90, a).

Le tangenti comuni ne’ punti di contatto fra le curve della rete inviluppano una linea della classe $3m(m-1)$ (91, b).

(a) Supponiamo che tutte le curve di una data rete abbiano un punto comune $a$. Condotta una retta ${\rm {A}}$ per $a$, sia $a'$ il punto di ${\rm {A}}$ infinitamente vicino ad $a$; infinite curve della rete passeranno per $a'$ (cioè toccheranno la retta ${\rm {A}}$ in $a$), formando un fascio. E condotta per $a$ una seconda retta ${\rm {A_{1}}}$, nella quale sia $a_{1}$ il punto successivo ad $a$, vi sarà una (ed una sola) curva della rete che passi per $a'$ e per $a_{1}$, cioè che abbia un punto doppio in $a$. Dunque: allorchè tutte le curve di una rete hanno un punto comune, una di esse ha ivi un punto doppio, e quelle che nel punto medesimo toccano una stessa retta formano un fascio.

(b) Suppongasi in secondo luogo che tutte le curve di una data rete abbiano un punto comune $a$ ed ivi tocchino una stessa retta ${\rm {T}}$. Condotta una retta ${\rm {A}}$ ad arbitrio per $a$, vi saranno infinite curve della rete passanti pel punto di ${\rm {A}}$ successivo ad $a$, e tali curve formeranno un fascio. Ciascuna di esse è incontrata sì da ${\rm {T}}$ che da ${\rm {A}}$ in due punti riuniti in $a$, cioè per esse questo punto è doppio: talchè quel fascio non cambia col mutarsi della retta ${\rm {A}}$ intorno ad $a$. Fra le curve del fascio, due sono cuspidate in $a$ (48), ed una ha per tangente la retta ${\rm {T}}$.⁷⁸ Ed invero quest’ultima curva è individuata dal dover incontrare ${\rm {T}}$ in tre punti ed ${\rm {A}}$ in due punti, tutti coincidenti in $a$.

93. Date tre curve ${\rm {C,\,C',\,C''}}$, gli ordini delle quali siano rispettivamente $m,\,m',\,m''$, proponiamoci di determinare il luogo di un punto le cui rette polari, rispetto a quelle curve, concorrano in uno stesso punto; ossia, con altre parole (69, a), il luogo di un punto nel quale si seghino le prime polari di uno stesso punto relative alle curve date. A tal uopo procederemo così: per un punto $o$ fissato ad arbitrio si conduca una retta ${\rm {L}}$

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1. Möbius, l. c. p. 266. — Steiner, l. c. p. 5.