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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

(b) I punti in cui si segano le prime polari di due punti $o,\,o'$ sono i poli della retta $oo'$ (77); talchè, se le due prime polari si toccano, la retta $oo'$ ha due poli riuniti nel punto di contatto. Se adunque conveniamo di chiamar congiunti gli $(n-1)^{2}$ poli di una medesima retta, potremo dire:

L’Hessiana è il luogo di un polo che coincida con uno de’ suoi poli congiunti.

(c) Chiamate indicatrici di un punto le due rette tangenti che da esso ponno condursi alla sua conica polare, si ottiene quest’altro enunciato:

La curva fondamentale e l’Hessiana costituiscono insieme il luogo di un punto, le due indicatrici del quale si confondono in una retta unica.

91. Dati tre fasci di curve, i cui ordini siano $m_{1},\,m_{2},\,m_{3}$, in quanti punti si toccano a tre a tre? I punti in cui si toccano a due a due le curve de’ primi due fasci sono (90) in una linea dell’ordine $2(m_{1}+m_{2})-3$; ed analogamente il luogo de’ punti di contatto fra le curve del primo e le curve del terzo fascio è un’altra linea dell’ordine $2(m_{1}+m_{3})-3$. Le due linee hanno in comune i punti-base ed i punti doppi del primo fascio, cioè $m_{1}^{2}+3(m_{1}-1)^{2}$ punti estranei alla questione, talchè esse si segheranno in altri $(2(m_{1}+m_{2})-3)(2(m_{1}+m_{3})-3)-(m_{1}^{2}+3(m_{1}-1)^{2})$$=4(m_{2}m_{3}+m_{3}m_{1}+m_{1}m_{2})-6(m_{1}+m_{2}+m_{3}-1)$ punti. E questi sono evidentemente i richiesti.

(a) Posto $m_{3}=1$, si ha:

Le tangenti comuni ne’ punti ove si toccano le curve di due fasci, i cui ordini siano $m_{1},\,m_{2}$, inviluppano una linea della classe $4m_{1}m_{2}-2(m_{1}+m_{2})$.

(b)⁷⁵ Se le curve de’ due fasci sono prime polari relative ad una data linea ${\rm {C_{n}}}$ d’ordine $n$, onde $m_{1}=m_{2}=n-1$, i due fasci hanno una curva comune (90, a) la quale è dell’ordine $n-1$, epperò (70) della classe $(n-1)(n-2)$. È evidente che questa curva fa parte dell’inviluppo dianzi accennato; talchè questo conterrà inoltre una curva della classe $3(n-1)(n-2)$, cioè:

Le tangenti comuni ne’ punti di contatto fra le prime polari relative ad una data curva d’ordine $n$ inviluppano una linea della classe $3(n-1)(n-2)$¹.

Art. XV.

Reti geometriche.

92. Il completo sistema delle linee d’ordine $m$ soggette ad ${\tfrac {m(m+3)}{2}}-2$ condizioni comuni chiamasi rete geometrica dell’ordine $m$, quando per due punti presi ad

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1. Steiner, l. c. p. 4-6.