Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/404

390

introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

(a) Per ${\rm {N=1}}$ si ha: le polari $(r)$^me di un dato punto rispetto alle curve di un fascio formano un nuovo fascio projettivo al primo¹.⁷¹

(b) Se $r=n-1$, si ottiene il teorema:

Le rette polari d’un punto dato rispetto alle curve d’una serie d’indice ${\rm {N}}$ inviluppano una linea della classe ${\rm {N}}$.

(c) Ed in particolare, se ${\rm {N=1}}$: le rette polari d’un punto dato $o$ rispetto alle curve d’un fascio concorrono in uno stesso punto $o'$ e formano una stella projettiva al fascio dato².

85. Data una serie d’indice ${\rm {N}}$ e d’ordine $n$, ed un punto $o$, si consideri l’altra serie formata dalle prime polari di $o$ relative alle curve della serie data (84). I punti in cui una delle curve d’ordine $n$ e segata dalla relativa prima polare sono anche (70) i punti ove la prima curva è toccata da rette uscente da $o$. Siccome poi le due serie sono projettive, così applicando ad esse il teorema generale di Jonquières (83), avremo:

Se da un punto $o$ si conducono le tangenti a tutte le curve d’ordine $n$ d’una serie d’indice ${\rm {N}}$, i punti di contatto giacciono in una linea dell’ordine $\mathrm {N} (2n-1)$.

Essendo il punto $o$ situato in ${\rm {N}}$ curve della data serie, la curva luogo de’ contatti passerà ${\rm {N}}$ volte pel punto medesimo ed ivi avrà per tangenti le rette che toccano le ${\rm {N}}$ curve preaccennate. Ogni retta condotta per $o$ incontrerà quel luogo in altri $2\mathrm {N} (n-1)$ punti, dunque:

Fra le curve d’ordine $n$ d’una serie d’indice ${\rm {N}}$ ve ne sono $2\mathrm {N} (n-1)$ che toccano una retta qualsivoglia data.

Se ${\rm {N=1}}$, si ricade nel teorema (49).

86. Data una serie d’indice ${\rm {N}}$ e d’ordine $n$, di quale ordine è il luogo di un punto, del quale una retta data sia la polare rispetto ad alcuna delle curve della serie? Cerchiamo quanti siano in una retta qualunque, ex. gr. nella stessa retta data, i punti dotati di quella proprietà. I soli punti giacenti nella propria retta polare sono quelli ove la retta medesima tocca curve della data serie. Onde, pel teorema precedente, avremo:

Il luogo dei poli di una retta data, rispetto alle curve d’ordine $n$ d’una serie d’indice ${\rm {N}}$, è una linea dell’ordine $2\mathrm {N} (n-1)$.

Quando è ${\rm {N=1}}$, in causa del teorema (84, c), un punto $a$ apparterrà al luogo di cui si tratta, se le sue rette polari relative alle curve date concorrano in un punto $b$ della retta data. Ma, in tal caso, le prime polari di $b$ passano per $a$ (69, a); dunque³:

---

1. Bobillier, Recherches sur les lois qui régissent les lignes etc. (Annales de Gergonne, t. 18, Nismes 1827-28, p. 256).
2. {Se $o$ si muove in una retta, $o'$ descrive una curva d'ordine $2(n-1)$.}
3. Bobillier, ibidem.