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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. | 383 |
Se la curva fondamentale ha un punto plo , le tangenti in alla prima polare di un polo qualunque sono le rette, il cui sistema è la prima polare di rispetto al fascio delle tangenti alla curva fondamentale in .
(a) Di qui s’inferisce, in virtù del teorema (73, a), che le prime polari di tutt’i punti di una retta passante per hanno in questo punto le stesse rette tangenti.
(b) Inoltre, se tangenti di nel punto multiplo coincidono in una sola retta, in questa si riuniranno anche tangenti della prima polare di (73, a); onde, in tal caso, rappresenta intersezioni di colla medesima prima polare (32). Il numero delle intersezioni rimanenti è ; perciò questo numero esprime quante tangenti (70) si possono condurre dal punto alla curva fondamentale (supposto però che questa non abbia altri punti multipli). In altre parole:
Se la curva fondamentale ha un punto multiplo secondo , con tangenti sovrapposte, la classe della curva è diminuita di unità.
(c) Queste proprietà generali, nel caso , e nel caso , , danno (73, b):
Se la curva fondamentale ha un punto doppio , la prima polare di un polo qualunque passa per ed ivi è toccata dalla retta coniugata armonica di rispetto alle due tangenti della curva fondamentale.
Se la curva fondamentale ha una cuspide , la prima polare di un polo qualunque passa per ed ivi ha per tangente la stessa retta che tocca la curva data.
Per conseguenza, la prima polare di sega in altri o punti (oltre ), secondo che è un punto doppio ordinario o una cuspide. Cioè la classe di una curva s’abbassa di due unità per ogni punto doppio e di tre per ogni cuspide1.
(d) Per qualunque ed si ha:
Se ha rami passanti per uno stesso punto con tangenti tutte distinte, la classe è diminuita di unità; vale a dire, un punto plo con tangenti distinte produce lo stesso effetto, rispetto alla classe della curva, come punti doppi ordinari. La qual cosa è di un’evidenza intuitiva; perchè, se rami s’incrociano in uno stesso punto, questo tien luogo degli punti doppi che nascono dall’intersecarsi di quei rami a due a due.
Ma se rami hanno la tangente comune, combinando ciascun d’essi col successivo