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intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria.

8.

Per agevolare la dimostrazione di un teorema che verrà esposto nel paragrafo nono, premetterò la soluzione del seguente problema⁶:

Dato un sistema di due figure omografiche poste in uno stesso piano, trovare le rette di una figura che colle loro omologhe sono divise ne’ punti omologhi in parti proporzionali.

In questo paragrafo farò uso delle coordinate tangenziali. Siano:

x',     y',     z'

le coordinate tangenziali di una qualunque delle rette richieste; supposte riferite le due figure ai punti doppi:

x = 0,     y = 0,     z = 0

ed espresse con a, b, c delle indeterminate, le coordinate tangenziali della retta omologa di quella saranno:

ax',     by',     cz'.

Due punti qualunque della prima retta siano rappresentati dalle equazioni:

u + hv = 0,     u + kv = 0

ove

$u={\frac {y'-x'}{x'}}x+{\frac {z'-x'}{y'}}y+{\frac {x'-y'}{z'}}z$

v = (y' — z') x + (z' — x') y + (x' — y') z

ed h, k sono due indeterminate. La distanza fra i due punti sarà divisa in parti proporzionali a due numeri m, n dal punto:

u + iv = 0

ove:

$i={\frac {mh+nk}{m+n}}.$

I punti omologhi a’ precedenti sono:

U + hV = 0,     U + kV = 0,     U + iV = 0

ove:

U = 0     V = 0

sono i punti omologhi rispettivi de’ punti:

u = 0,     v = 0.