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| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 295 |
Se, invece della retta A, prendiamo, come retta doppia della superficie di terzo grado, una generatrice dell’iperboloide appoggiata alla curva K in un solo punto, avremo evidentemente:
Quando due curve gobbe di quart’ordine e seconda specie, tracciate sullo stesso iperboloide, incontrano, l’una in tre punti e l’altra in un solo punto, una medesima generatrice di quello, le due curve si segano in dieci punti.
Per la generatrice A dell’iperboloide I, appoggiata alla curva K in tre punti, s’immagini condotto un altro iperboloide; questo segherà il primo lungo una cubica gobba, ed incontrerà la curva data in otto punti, tre de’ quali sono nella retta A; dunque:
Quando una cubica gobba, ed una curva gobba di quart’ordine e seconda specie, tracciate sopra uno stesso iperboloide, incontrano, ciascuna in un punto solo, una medesima generatrice di quello, le due curve si segano in cinque punti.
Ossia:
Due iperboloidi aventi una generatrice comune, ed una superficie gobba di terzo grado, per la quale quella generatrice sia la retta doppia, hanno, all’infuori di essa, cinque punti comuni.
Invece, se il secondo iperboloide si fa passare per una generatrice del primo, appoggiata alla curva K in un punto solo, si avrà:
Quando una cubica gobba ed una curva gobba di quart’ordine e seconda specie, tracciate sullo stesso iperboloide, incontrano, l’una in due punti e l’altra in un solo, una medesima generatrice di quello, le due curve hanno sette punti comuni.
11.
Le generatrici dell’iperboloide I, del primo sistema, segano la curva K in tre punti. Si può domandare, se vi sia alcuna di quelle generatrici, per la quale due di quei tre punti siano riuniti in un solo; cioè, se vi sia alcuna generatrice dell’iperboloide I, tangente alla curva gobba. A tal uopo, osserviamo che i punti della curva, essendo distribuiti a tre a tre in linea retta, formano un’involuzione del terz’ordine.
Una tale involuzione ha quattro punti doppi, cioè, vi sono quattro gruppi o terne in ciascuna delle quali due punti sono riuniti1; dunque:
