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| 290 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
§ 7.
Siano date sulla curva gobba K (di quart’ordine e seconda specie) e sopra una retta qualsivoglia R, due semplici serie proiettive di punti, tali cioè, che a ciascun punto dell’una corrisponda un punto nell’altra e reciprocamente. Cotali serie si possono ottenere così. Si assuma una retta A, appoggiata in tre punti alla curva K, come asse di un fascio di piani P, omografico ad una serie di punti data sulla retta R. Ogni piano P sega la curva gobba in un solo punto m, fuori dell’asse A; questo punto m della curva sarà il corrispondente di quel punto μ, di R, che è omologo al piano P.
Di qual grado è la superficie gobba, luogo della retta mμ, cioè della retta che unisce due punti corrispondenti nelle due date serie proiettive? Ossia, quante rette analoghe ad mμ sono incontrate da una retta arbitraria L?
Un punto qualunque μ, preso nella retta R, ha il suo corrispondente m sulla curva gobba; e se per m e per la retta L si conduce un piano, questo sega R in un punto μ’. Se invece si assume ad arbitrio il punto μ’ in R, il piano condotto per esso e per L sega K in quattro punti m, ai quali corrispondono altrettanti punti μ in R. Dunque, variando nella retta R simultaneamente μ e μ’, ad ogni punto μ corrisponde un solo μ’, ma ad ogni μ’ corrispondono quattro punti μ. Ossia, μ genera un’involuzione di quart’ordine1, mentre μ’ genera una semplice serie proiettiva all’involuzione medesima. Vi saranno dunque cinque punti μ’ ciascuno de’ quali coincide con uno de’ corrispondenti μ. Ma quando ha luogo tale coincidenza, la retta mμ è una generatrice della superficie di cui si tratta; dunque, la superficie richiesta è del quinto ordine {e di genere zero}.
Queste conclusioni stanno, comunque sia situata la retta R, rispetto alla curva
- ↑ Se in un piano si ha un fascia di curve d’ordine n, passanti per gli stessi n2 punti, esse segano una retta arbitraria L in una serie di punti aggruppati ad n ad n: ogni gruppo formata dalle intersezioni di L con una stessa curva del fascio. Tale serie di gruppi di punti denominasi involuzione d’ordine n.
Un secondo fascio di curve d’ordine n’ determina su L un’altra involuzione d’ordine n’. Se i due fasci sono projettivi, tali sono pure le due involuzioni, cioè i gruppi dell’una corrispondono anarmonicamente ai gruppi dell’altra. Vi sono n + n’ punti di L, in ciascun de’ quali sono riuniti due punti appartenenti a due gruppi corrispondenti. Tali n + n’ punti sono quelli in cui la retta L sega la curva d’ordine n + n’, luogo delle intersezioni delle curve omologhe ne’ due fasci projettivi dati (Jonquières: Annali di Matematica, Roma 1859).35
Nella ricerca superiore si ha n = 4, n’ = 1.
