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intorno ad un teorema di abel

(lemma 3.º), si ha, per noti teoremi sullo spezzamento delle frazioni razionali

$\sum _{1}^{\mu }{{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}{\frac {f(x)}{(x-a)d(x)}}{\frac {dx}{dt}}}=\Pi {\frac {n\mathrm {H} (x)f(x)}{(x-a)d(x)\mathrm {F} (x)}}-{\frac {n\mathrm {H} (a)f(a)}{d(a)\mathrm {F} (a)}}$⁴

indicando col simbolo Πφ(x) il cofficiente di ${\frac {1}{x}}$ nello sviluppo di φ(x) secondo le potenze discendenti di x. Quindi, integrando rispetto a t, si ha

5)	$\sum _{1}^{\mu }{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}\int {\frac {f(x)}{(x-a)d(x)}}dx=\Pi {\frac {f(x)}{(x-a)d(x)}}\int {\frac {n\mathrm {H} (x)}{\mathrm {F} (x)}}dt$ $-{\frac {f(a)}{d(a)}}\int {\frac {n\mathrm {H} (a)}{\mathrm {F} (a)}}dt+\mathrm {Cost.^{e}} .$

Ora derivinsi le n equazioni (3) rispetto alla sola t; poi si moltiplichino le equazioni ottenute dalla derivazione ordinatamente per

α₁ⁿ, α₂ⁿ, ... α_nⁿ;       α₁^{n— 1}, α₂^{n— 1}, ... α_n^{n— 1}; ...;       α₁, α₂, ... α_n;

sommando ciascuna volta le risultanti si ha

nh_s = α₁^{n— s}${\frac {d\theta _{1}}{dt}}$ + α₂^{n— s}${\frac {d\theta _{2}}{dt}}$ + ... + α_n^{n— s}${\frac {d\theta _{\mathrm {n} }}{dt}}$;

quindi, essendo

H = h₀${\frac {d\mathrm {H} }{dh_{0}}}$ + h₁${\frac {d\mathrm {H} }{dh_{1}}}$ + ... + h_{n— 1}${\frac {d\mathrm {H} }{dh_{\mathrm {n} -1}}}$,

sarà

nH = (— 1)ⁿ $\sum _{\mathrm {r} =1}^{\mathrm {n} }{\frac {d\theta _{\mathrm {r} }}{dt}}{\begin{vmatrix}\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} }&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\\\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} -1}&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{\mathrm {r} }&q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{0}&\cdots &q_{\mathrm {n} -3}d^{\mathrm {n} -3}\end{vmatrix}}$

ovvero

nH = — $\sum _{\mathrm {r} =1}^{\mathrm {n} }\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} -1}{\frac {d\theta _{\mathrm {r} }}{dt}}{\begin{vmatrix}\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} }&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} -1}&q_{2}d^{2}&q_{3}d^{3}&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{\mathrm {r} }&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$